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HKKMITE Algèbre supérieure. TROOST Chimie. FRIEDEL Chimie organique. LIPPMANN Physique. HAUTEFELilLLE xMinéralogie. F30LTY Physique. APPELE Mécanique rationnelle. DUGLAUX Chimie biologique. BOUSSINESQ Calculdesprobabiliiésel Phy- sique mathématique. PICARD Calcul diflérentiel et Calcul intégral. n. POING A RE Astronomie mathématique et Mécanique céleste. YvKS DELACE Zoologie, Anatomie. IMiysio- logie comparée. I50.NMER Botanique. DASTRE Physioh»gie. DITTE Chimie. IVIUNIER-CIIALMAS Géologie. GlARD Zoologie, Evolution des êtres organisés. WOLF Astronomie physique. KC^NIGS Mécanique physique et expé- rimentale. CHATIN Zoologie, Anatomie, Physio- logie comparée. JOLY Chimie. PELLAT Physique. PAINLEVÉ Calcul différentiel et Calcul intégral. FOUSSEREAU. ï'n41 PARIS. — IMPRIUKRIK GAUTIIIKR-VILLARS ET FILS. QUAI DES GRAND8-AI.GUSTINS, 65. \ »*> l v^: MES PARENTS. Témoignage de piété filiale, M. SIMONIN. PREMIÈRE THÈSE. SUR L'ORBITE DE ® HÉCUBE. INTRODUCTION. La planëie @) Hécube, qui a été découverte k Diisseidorf, \e 2 avril iSGc), par M. Luther, a tout de suite attiré l'attention des astrorîomes et des géomè- tres, en raison de cette particularité que son moyen mouvement est très voisin du double de celui de Jupiter. On sait, en effet, que, dans ce cas, les équations qui définissent les éléments de Torbite, la longitude moyenne en particulier, contiennent des petits divi- seurs et que les variations de ces éléments sont considérablement plus grandes que dans le cas^énéral.  l'aide des premières observations d'Hécube, M. Schulhof a calculé les élé- ments osculateurs de son orbite et, depuis lors, les a fréquemment corrigés, grâce aux observations régulières qui ont été faites, et qui nous ont fourni à nous-méme les positions de cet astre à i4 oppositions différentes, comprises entre les années 1869 et 1895. On trouvera plus loin le Tableau de tous les sys- tèmes d^éléments osculateurs de cet astronome : les diverses valeurs du moyen mouvement diffèrent entre elles de plusieurs dixièmes de seconde d'arc, la longitude du périhélie diminue constamment d'une façon notable, tandis que l'excenti'icité augmente. Hécube est aussi, parmi les astéroïdes dont le moyen mouvement est voisin du double de celui de Jupiter, l'un de ceux pour lesquels la commensurabilité est la plus approchée; c'est, par suite, dans la théorie d'Hécube qu'on doit rencontrer les plus grandes perturbations. Enfin, l'élude des planètes telles qu'Hécube présente plus de difficultés que celle des planètes dont le moyen mouvement est à peu près 3, 4« - •• fois celui de Jupiter, puisque, dans le premier cas, les termes les plus importants de la fonction perturbatrice, qui introduisent d«s petits diviseurs, contiennent a la première puissance l'excentricité de l'orbite d'une des deux planètes (Hécube s. 1 — 2 ou Jupiter), tandis que, dans le second cas, les plus petits exposants de ces excentricités sont respectivement égaux à 2, 3, .... Pour toutes ces raisons, c'est plus particulièrement d^Hécube que se sont occupés les auteurs des Mémoires relatifs au cas d*une commensurabilité appro- chée des moyens mouvements. Nous citerons, en premier lieu, les travaux de M. Gyldén, publiés dans divers Suppléments aux Mémoires de l* Académie royaledes Sciences de Suéde, Ils ont servi de point de départ à M. Harzer dans ses recherches sur cette planète. Ces divers Mémoires ont été analysés dans le Bulletin astronomique (t. VII, p. 470 et suiv.) par M. Callandreau, qui a été amené à étudier, en même temps, les recherches relatives aux méthodes de M. Gyidén, effecluécs par MM. Andoyer, Backlund, Urendel, Masal, Olsson et Wolf. Pour cette raison nous pouvons nous borner à indiquer, en quelques mots, les caractères généraux du Mémoire de M. Harzer ( * ). Après avoir constaté, dès le début, que si Ton prenait comme première ap- proximation une ellipse képlérienne, les approximations, ordonnées suivant les puissances de la masse de Jupiter, formeraient une suite divergente, M. Harzer est conduit à considérer une orbite intermédiaire, obtenue en prenant dans la fonction perturbatrice les termes à longue période les plus importants. La lec- ture de ses intéressantes recherches montre bien toutes les difficultés du pro- blème. En ce qui concerne les termes séculaires, M. Harzer, appliquant en cela les méthodes de M. Gyidén, met un soin tout particulier à les faire disparaître, et il parvient a les éviter complètement. Il importe aussi de discerner les termes périodiques qu^on peut négliger, ceux qu'on peut intégrer sans crainte d'avoir des développements divergents, enfin les termes a longue période que l'on ne doit pas intégrer de suite. La dé- termination de ceux-ci nécessite l'introduction des fonctions elliptiques, et donne lieu à des calculs longs et pénibles, qui conduisent à l'emploi de la mé- thode des coefficients indéterminés. De plus, si l'on n'elTectue pas lesralculs numériques, il est difficile de se rendre un comple exact des choix faits par l'auteur qui conserve ou néglige certains termes, suivant l'importance de leurs coefficients ou la période de leurs arguments; ceci tient à la nature de la ques- tion elle-même et non à la méthode employée; nous rencontrerons plus loin les mêmes difficultés. Pour traiter un problème aussi compliqué, on conçoit dès lors combien il est utile d'employer des méthodes différentes; c'est ainsi que M. Tisserand s'est (*)P. Harzer, Untersuchun^en ûbcr einen specicllen Fait des Problems dcr drei Kôrper (Xié- moires de TAcadémie iinpériale des Sciences de Sainl-Pétcrsbourjr, VU* série, t. XXXIV» n* 12). - 3 -- occupé du même sujet dans plusieurs études publiées dans les Comptes rendus ou dans le Bulletin astronomique. Dans un premier Travail ( ' ), M. Tisserand* considérant le cas d'une commen- surabilité approchée, se sert des formules de Laptace dans lesquelles il néglige les excentricités et les inclinaisons; il arrive à la conclusion suivante, qu'il im- porte de rapprocher des résultats obtenus plus tard par M. Poincaré, à Taide d'une méthode entièrement différente : « Alors même que l'excentricité propre e^ serait nulle, il y aura une excen- tricité e^ produite par les perturbations et un périhélie tir, ...; on voit que les longitudes variables cj, (de la planète troublée) et xs\ (Jupiter) différeront con- stamment de i8o*. » Remarquons enfin que, quand les deux planètes P (troublée) et P' (trou- blante) seront en conjonction, P sera voisine de son périhélie gt, et P' de son aphélie gt',. » Et plus loin, à propos d'une application numérique à la planète (m) Hilda, dont le moyen mouvement est environ les f de celui de Jupiter, M. Tisserand trouve : « ^, = o, 1 1 1, quantité tout à fait comparable à Fexcentricité ^ = o, 172 de l'ellipse osculatrice. » Et il ajoute : <( On voit donc que l'excentricité produite par les perturbations est ici con- sidérable et peut, à un moment donné, être beaucoup plus grande que l'excen- tricité e^ indépendante des perturbations. » Dans un second Mémoire (^), M. Tisserand expose une méthode nouvelle pour calculer les éléments d'une planète du type d'Hécube; il part des équations du mouvement qui ont servi à Delaunay dans sa Théorie de la Lune; mais ici l'existence des petits diviseurs nécessite l'emploi des fonctions elliptiques dans les calculs; ceux-ci ont été développés par M. Tisserand dans le t. XII du Bul- letin astronomique et dans le t. IV de son Traité de Mécanique céleste. C'est dans ce second Mémoire que, pour la première fois, se trouvent des per- turbations proportionnelles à la racine carrée de la masse de Jupiter et non plus à la masse elle-même. On est encore frappé ici de la concordance des résultats (1) Bulletin astronomique, t. m, p. 4'25. (•) Bulletin astroftomique, t. IV, p. i83. — 4 - obtenus par MM. Poincaré et Tisserand, au moyen de deux méthodes tout à fait indépendantes Tune de l'autre. Il convient aussi de signaler cette remarque faite par M. Tisserand dans ses recherches sur la libration des petites planètes, à savoir que : dans certains cas, si, par Teffeldes perturbations, les moyens mouvements peuvent être exactement commensurables à un moment donné, les formules subsistent encore, et il ne résulte, de cette circonstance, aucune instabilité dans l'orbite de la planète. M. Harzer était arrivé, de son côlé, aux mêmes conclusions, h l'aide de ses formules; les nôtres, quoique bien différentes, s'appliquent également à ce cas sans aucun changement. Plus récemment encore, M. Callandreau (*) a, pour l'étude du casd'upecom- mensurabilité approchée, utilisé les méthodes d'approximation de Laplace rela- tives aux inégalités séculaires des planètes, en se proposant surtout d'obtenir une explication théorique de la lacune des astéroïdes, là où leur moyen mouve- ment serait à peu près le double de celui de Jupiter. Certains résultats auxquels est parvenu l'auteur {voir p. 94) peuvent utile- ment être rapprochés des remarques que nous faisons plus loin sur les varia- tions de l'éclat des planètes analogues à Hécube. Des autres conclusions de ce Mémoire, retenons encore la suivante : dans le cas d'Hécube, il n'y a pas de libration; nous le montrerons aussi dans la suite. Poursuivant l'examen rapide des diverses recherches sur le même sujet, nous arrivons enfin aux travaux de M. Poincaré : ce sont d'abord son Mémoire cou- ronné (*), ensuite les deux premiers tomes de l'Ouvrage (') oii il expose en détail les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste. Ce sont ces*méthodes nouvelles, à propos desquelles M. Poincaré est amené à citer le cas d'Hécube, qui nous ont conduit aux formules obtenues dans le Mémoire actuel. La multiplicité des travaux dont nous venons de faire l'énumération succincte montre assez que le problème du mouvement d'Hécube ne peut être traité par les procédés ordinaires, si on ne leur fait subir, au préalable, d'importantes modifications. Il a semblé à M. Tisserand que l'étude complète des méthodes employées et des résultats obtenus par les divers géomètres qui se sont occupés de cette question, devait conduire à une solution simple qui n'entraînât pas avec elle le recours aux fonctions elliptiques. C'est ce problème que M. Tisserand a bien voulu nous proposer de résoudre. Tel est le but de ce Travail. (* ) Callandreau, Sur quelques cas fie commetisurabilUé , . . {Annales de l'Ohserv, de Paris, t. XXII). ( ' ) Poincaré, Sur le problème des trois corps et les équations delaDj namique {Acta math,, t. XIII ). (3) Poincaré, Les met/todes nouvelles de la Mécanique céleste. - 5 - L'étude de ces divers Mémbires, et surtout les conseils de MM. Poincaré et Tisserand, nous ont conduit aux résultats donnés plus loin. En outre, dans ces recherches, faites à l'Observatoire de M. BischofTsheim, M. Perrotin nous a fait largement profiter de l'expérience qu'il a depuis longtemps acquise dans toutes les questions concernant les astéroïdes. Nous prions ces maîtres bienveillants d'agréer nos respectueux remerciments. Le Mémoire actuel est divisé en trois Chapitres : Dans le premier, on établit les formules nécessaires au calcul des éléments et à la détermination exacte des constantes d'intégration, lorsqu'on en connaît une valeur approchée. Comme nous l'avons déjà dit, la plus grande difficulté qu'on y rencontre, consiste dans le choix des termes qu'il faut conserver ou négliger dans les approximations. Le second est consacré aux calculs numériques. On y trouve, en premier lieu, les méthodes employées successivement pour déterminer les constantes d'inté- gration, en second lieu, les données qui permettent d'effectuer tous les calculs et enfin les expressions numériques des éléments de l'orbite et les résultats de la comparaison de la théorie aux observations. Le troisième Chapitre comprend les valeurs des éléments osculateurs pour des époques éloignées et la comparaison de certains résultats de M. Harzer avec ceux que fournissent nos formules. - 6 CHAPITRE PREMIER. 1. Utilité des solutions périodiques. — Dans le cas général, pour étudier l'orbite d'une planète, on considère, dans la fonction perturbatrice où la plu- part des éléments sont pris, dans une première approximation, avec leur valeur elliptique, tous les termes jusqu'à une certaine puissance des excentricités et des inclinaisons, et Ton réserve pour un calcul spécial les termes qui intro- duisent des inégalités k longue période. C'est ainsi, par exemple, que Le Verrier a donné à part l'ensemble des termes dépendant de cinq fois la longitude moyenne de Saturne, moins deux fois celle de Jupiter (*). De même, dans sa Théorie de Vesla, M. Perrotin (*) a traité séparément les termes du second ordre par rapport aux masses qui contiennent Targument où /", /' et / sont les longitudes moyennes respectives de Saturne, de Jupiter et de Vesta. Dans le cas d'Hécube, le même procédé, comme nous l'avons déjà dit, ne serait plus légitime; le développement des coordonnées, par rapport aux puissances des masses, n'est plus possible comme dans les cas cités plus haut; nous allons donc recourir à une autre méthode. Si l'on remarque, avec M. Poincaré, qu'en négligeant d'abord la masse de Jupiter ainsi que les excentricités et les inclinaisons des orbites, Hécube *ei Jupiter décrivent autour du Soleil deux circonférences avec les vitesses angu- laires qu'on peut désigner par n et n\ on voit que, après chaque intervalle de temps égal à - __ , y ces deux planètes se retrouvent dans la même position rela- tive par rapport au Soleil. Si l'on rapporte le système à des axes mobiles tour- nant d'un mouvement uniforme avec la vitesse angulaire n\ les coordonnées d'Hécube sont des fonctions périodiques du temps; la période est _* , - Le pro- blème ainsi simplifié comporte une infinité de solutions périodiques. Ces solu- tions, dans lesquelles l'excentricité est très petite, sont appelées par Tauteur : solutions périodiques de la première sorte. M. Poincaré a, en outre, démontré (•) que le problème des trois corps coul- er ) Le Verrier, annales de l'Observatoire de Paris, t. X, p. 52. (') Perrotin, Annales de l'Observatoire de Toulouse, t. I, p. B.8o. (') Poincaré, Les Méthodes nouvelles. .., l. I, p. 97. - 7 - porte encore des solutions périodiques de ia première sorte, si la masse de Jupiter est assez petite, pourvu que n et n' ne soient pas commensurables. Con- sidérons Tune d'entre elles, prenons pour origine du temps Tépoque d'une conjonction d'Hécube et de Jupiter; les coordonnées d'Hécube, rapportées à des axes mobiles comme plus haut, sont des fonctions périodiques du temps, et ia vitesse de cet astéroïde est, à Torigine du temps, normale à son rayon vecteur. M. Poincaré recommande, surtout pour le cas particulier qui nous occupe ici, (yo'wLes Méthodes nouvelles ..., 1. 1, p. i53), l'usage de ces solutions périodiques, quoique les conditions initiales du mouvement ne soient pas exactement celles qui correspondent à une solution périodique; mais, si elles diffèrent peu de la réalité, la grande inégalité, provenant de ce que n — 2/1' est petit par rapport à n et n\ introduit des grands coefficients qui varient peu si l'on passe des con- ditions véritables du mT)uvement à celles qui correspondent à une solution périodique; il est donc avantageux de déterminer ainsi la valeur approchée de ces grands coefficients. En outre, si l'on peut choisir, comme première approximation, une solution assez voisine de l'orbite réelle, la différence entre les coordonnées calculées et réelles d'Hécube peut rester assez petite pour qu'on puisse, pendant assez long- temps, négliger le carré de cette différence. C'est à ce propos que M. Poincaré introduit les équations qu'il appelle équations aux l'ariations. On verra plus loin avec quelle approximation on peut ainsi représenter les diverses positions d'Hé- cube, et quelle modification on peut apporter à ces méthodes pour obtenir des résultats plus exacts. Mais, tout d'abord, rendons-nous compte de ce fait, qu'il existe des solutions périodiques voisines do Torbite d'Hécube, c'est-à-dire qu'il arrive un moment où les deux planètes, troublée et troublante, sont en conjonction en même temps que la seconde passe à très peu près au périhélie. Si, au moment d'une conjonction, Hécube est loin de son périhélie, à la con- jonction suivante sa longitude a augmenté de —3—7» ou, si l'on veut, a dimi- /* — vtn 2iin n — n' nuéde27: — 3— r* Pour simplifier les calculs, supposons n — 2/1'= 20" et n — n' =^ 3oo", on voit qu'a deux conjonctions consécutives correspondent pour Hécube deux longitudes différant de 24"; on pourra donc toujours choisir l'ori- gine du temps de façon qu'Hécube et Jupiter soient en conjonction et que la première soit à moins de 12" de son périhélie. Le phénomène se reproduit pério- diquement après i5 oppositions. D'après les éléments de M. Schulhof, la longitude du périhélie d'Hécube varie de 174** à iGS** à peu près dans l'intervalle de 18G9 a iSqS; un calcul - 8 ^ simple montre que cette planète est au voisinage de son périhélie et en con- jonction avec Jupiter vers le mois de septembre 1897 (*)• Dans ces conditions, nous allons chercher toutes les solutions périodiques voisines du mouvement d'Hécube, en ne prenant dans la fonction perturbatrice que les termes à longue période les plus^importants; ensuite nous choisirons la solution qui servira de point de départ» nous formerons les équations aux varia- tions et enfin nous tiendrons compte de quelques termes supplémentaires. Dans ces calculs, nous n'avons tout d'abord considéré que les termes du pre- mier ordre par rapport à la masse; c'est après nous être rendu compte des résul- tats de cette approximation que nous ne nous sommes plus borné à ces seuls termes, ni astreint aux développements suivant les puissances de la masse de Jupiter. Nous allons transcrire successivement les formules qui proviennent de ces deux approximations; si l'exposition de nos calculs est ainsi un peu plus longue, nous osons espérer qu'elle y gagnera en clarté, 2. Équations du mouvement. — Désignons, suivant l'habitude, par a, e, 1, /, g et A, respectivement le demi grand axe, l'excentricité, l'inclinaison de l'orbite, l'anomalie moyenne, la distance du nœud ascendant au périhélie et la longitude du nœud, relatifs à Hécube; les mêmes lettres accentuées correspondent aux divers éléments de l'orbite de Jupiter, dont nous désignons la masse par m'; la masse d*Hécube est négligée; celle du Soleil est prise pour unité. Posons, en outre. (1) L=:^a, G =:\.^a{i — e^)f H = Gcos/, y = shi-' •a Les équations qui définissent le mouvement d'Hécube en fonction du temps / peuvent se mettre sous la forme suivante, bien connue : (2) rfL JR dl d^ dl d/' dl dL dÇi dl{ dg an dt âg' dl dii dH dn dh d\\ dl dh' dl -h7A^,*'-+- AS,*0, Me = — (A'*'~A^,»>~Ai»>), (4) !m,=z^'( A^,«'4-Ai»>), M,= ^'( 3A'«'-t- AV^-4|i)> M, = ^B'^ M,r^— (4A^«^-+-A'^*0, M» = ^ (2iA^»'-h7A'j»^-H Ai»^), Ms^y^'*'' On peut vérifier ces coefficients en remplaçant dans le développement de la fonction perturbatrice donné par Le Verrier (*) ou par M. Tisserand (^), X — a>, /' — Gj', (0, tar', t' et y] respectivement par /, l\ g -^ h^ g -+- A, A' et y. Notons que, dans l'expression (3) de R, la constante de Gauss est supposée égale à l'unité; on voit aisément que cela revient à changer l'unité de longueur et qu'on passe du système ordinaire au système actuel en augmentant de 1 ,176279 les logarithmes des longueurs a et a\ 3. Étude du problème restreint. — Pour intégrer les équations (2), négli- geons d'abord dans l'expression (3) de R les termes qui contiennent l'un des deux facteurs e' ou y; c'est là ce qu'on appelle souvent le problème restreint; nous obtenons le nouveau système d'équations (5) dL c?R, dt ôRr dt dt' dt ÔL ' dG àWy dt ^ âs^ ' dg d^, dt dG' R, =1 h Mo + Mje* — M,ecos(^-H 2^+ 2A — 2I' —ig — 2/1) ^ Cl + Mje'cos2(/+ 2g -h 2/1 — 2/' — 2g — 2/i'); (*) Le Verrier, annales de l'Observatoire de Paris, t. I, ou t. X, p. 40 et suiv. (') Tisserand, Traité de Mécanique céleste, t. ï, p. 809. S. : : .V ... r» .; • • • . • - 10 - comme on néglige y, H est égal à G, et A est une constante arbitraire. R, ne con- tient que l'argument l-h 2g -h 2.h — 2I' — ig' — 2 A' et le double de cet argu- ment; nous allons donc pouvoir appliquer à l'intégration du système (5) la mé- thode qui a servi à Delaunay dans sa Théorie de la Lune. (A). Calcul de L et de G. — Tout d'abord on voit que : àg ~ dl ' par suite, une première intégrale des équations (5) est : (6) 2L — Gi=Go, OÙ Go esl une constante arbitraire. Des équations (i) et (6), on obtient aisément les expressions suivantes de L et de G en fonction de Gq et de e, en négligeant les puissances de e supé- rieures à 2 : (7) L^Go(.-Ç) (B). Calcul de e et de l-^ 2g -h 2 A. — Si Ton pose (8) Q = l-h 2g -h 2/1 — 2/' — 2g -^2h', les équations (5), (7) et (8) donnent, après des réductions faciles, les expres- * de . -, dS sions suivantes de -j- et de -,. : de M, . ^ M3 , — — jv-sin9-h 2 77-esin 2 0, ut (jo VJo dO (9) |?=:-2L(-^,+M'o-f-M;e«~M;ecos0-4-M;e*cos20^ i-j 2 -7s (2Mie — M, COS0-4- 2Mjecos20) — 2n\ Dans les équations précédentes, M) désigne la dérivée de M, par rapport ijTa. Dans les équations (9), remplaçons a par GJ(i — e^) et toute fonction /(a) par /(GJ) — GJô^/'(GJ). Comme il n'y a aucune confusion à craindre, nous conserverons dans la suite les mêmes lettres M^, M,' pour désigner des fonctions * -fc • • • - n - de Gq et non plus de a. Nous remplaçons ainsi le système (9) par le système équivalent (10): — — f GoMie*— p-? j sinÔ -h 2 j^es\n29, («o) 1 J^ ^ -^j - aGoM; 4- ^7-2/1' + e' ( — + GoM; -h qGJM; 4- ^^ - 4GoM;) 4-('3GoM;e--^e-^V<>s^-+-('^'-+-7^^'-4GoM;e«Vos20. Delaunay a montré que les valeurs de c et de pouvaient se mettre sous la forme e — Ooit 4- c) 4- ^1 sin on encore ' . : 00 g; n — 2/i' ' n si nous supposons, comme plus haut, n — 2/t' = 20", n ^ n' = 3oo" et e^ = o,o3, on trouve que dans 6, le coefficient de e^ est supérieur à l'unité, bien qu'il contienne m' en facteur. Jusqu'alors nous ne nous sommes pas occupé des termes de Oq, Ô4, ... qui ont le facteur cj; pour cela, servons-nous des remarques faites plus haut, et posons 9q — 9oo -^Ooicly é'o = ^oo -+-goiel. €1 — «Il -h ^is^o' n 11 (17) 1^ Q^^e^eo-h -^y ^,=^n^o-H— -> e„ Ot — Ou -h^ijej, gt = gti H-^M^Î, e Si, dans les équations (12) et (16), nous tenons compte des relations (17), nous obtenons immédiatement les résultats approchés qui suivent : Oo, est indépendant de m'; (18) ^11 = ^11 = — ^ii> - U - et enfin M. *"-^g7 _ 3 M, (19) {^''~ 2^Jg; Il apparaît de ces relations que, en valeur absolue, ^«2» ^22 sont tout à fait comparables à 0,,. Dans les calculs approchés que nous venons de faire, nous avons vu que '^-~ est comparable à une excentricité; comme, en général, nous ne négligeons que e', nous sommes amené à reprendre nos identifications, en conservant les produits de M/ par 0<, e^ ou ôj. Il y a nécessairement, dans le choix de ces termes, un peu d'arbitraire; nous ne transcrirons donc que ceux qui, en définitive, nous ont paru avoir quelque importance; dans toute approximation analogue à celle que nous faisons ici, il est toujours à craindre, ou de négliger un terme utile ou d'en conserver un qui devrait être détruit en grande partie par un autre qu'on a négligé a priori. Gomme nous l'avons déjà dit, il est difficile de se rendre un compte exact de ces divers choix, avant d'avoir effectué les calculs numériques. (D). Nouvelles identifications. — Si, dans les équations (10) et (i4)> ï^ous remplaçons e, 0, g' par leurs valeurs (11) et (i5), et sin9 par ^mQ^{t^c) -\- — sina^oC^ -+-c) -h — sin0o(^ + c) + — sin30o(/-h c), £ Ja £ Q Q Q Q cosô » cosôo{t~hc) -h — cos20o(^-^c) ^cos0o(^^-^)h- — cos30o(^ 4-c), sin2 » sin2 0o(' -+-c) 4- 01 sin30o(^-+- ^) — ^1 sinÔo(^-i- c), COS2 » COS2 0o(^-^- c) — 0,COS0o(^-^^*) -^ ^i COSS 0o( ^ "H c) — 0j, 15 - nous obtenons les résultats suivants : (20) — ei6o =z -^*-rGoM;e; Tr" ^»"^ r^^» — 2e,9o =:GoM',eoe, »iî.9. + ÎVM;g^^. 2G " Go 2Mj 01 «0- G. ^OJ — 3 tf I ^( M, Mj 2M3 2tlo Uo «0 9.= 7-2G.M; lo î^'G; \ '' 2 / aGo^J 2Goe» 2^ï, G M.-ïf3^o.,^(3GoM;-^) Ma . M,0, 2M3 . 2 ^0^1 3 ~2GJV2 4-2^0^, -h Go^o M, 2Go^( Gr (3g.m; - ^J (!^ . «^) -h 2GoeJ 2Goy \ 2 2Goeo^ Go 2UoM3e,4-^e„ 300^3 = ^'0 2Grte« '0^0 G, 00 00^1^-- 2 0oé'î = 300^3^ 2 M, Go M, Go^o M, Cl sGo^J MA 2GoÉ?o M,0 M,ô, "Tî ' auo^o GoMjgo ^ 0,, Uo 'Gom;> 2M3 2GoeJ M,0, 260^0 Go aGo^o 2 M, -+- e,. GpM'j 0,eo — 2GoM'3ef;, Sous cette forme plus compliquée, les équations d'identification nous mon- trent encore que e<, e,, Oo, go, 0^, g^ sont des fonctions paires de e^^ tandis que ^2i Oo Ô3, ^<, ^3 en sont des fonctions impaires. Si Ton remplace ces quantités par leurs expressions (17) et qu'on ordonne les valeurs de 5/^» Oia> gih suivant les puissances de la masse m', on trouve encore que, à quelques petits termes près, les relations (18) données plus haut sont vérifiées; nous effectuerons dé- sormais les calculs, sans nous occuper de l'exposant de m\ et nous admettrons que les relations (18) ont encore lieu. Il nous faut d'abord calculer O^q. goo* pour cela, dans les expressions (20) de 60, go9 nous remplaçons e^^, e^2, O^^ par leurs parties principales '(19); nous avons vérifié, après avoir obtenu les expressions numériques de tous les coeffi- — 16 - cients, qu'une seconde approximation donnait pour 6j,^,^oo des valeurs peu dif- férentes de celles qu'on avait calculées ainsi; les différences étaient de Tordre des termes négligés. Pour simplifier l'écriture, nous poserons désormais "^'-êiiG:' et nous écrirons ôo, go, au lieu de Ooo> ^oo? nous avons, de cette façon, (2l) • < ' 2M, 3a;, 'o ^0 — -7^: ^ ^Gy ^0 se compose de deux termes dont l'un contient m' et l'autre m'^; les calculs numériques nous montreront que le second est le plus important des deux. Pour les autres inconnues, on a successivement (22)' { 4 , fotjO^ __ «agit _ 2a3^\ '\ 6 3 3 y (nous pouvons écrire, e^ = ^3,eJ). Enfin, les cinq quantités e,,, ^^a, e^i^ O^, 0,, sont définies par les cinq équa- tions suivantes, dont les quatre premières sont linéaires. e: ' a (n-3a3)eH + -^^si — «j^o, rr ^11 -H (I 4- a3)«is — -r ^jj — 2a,0ii H V-^ = o, 29oG5 ^' ' ^ • ^^'^^* 2 ^" — .-11 ' 0^ Go M' a, ^ 3 aï Dès qu'oit a une valeur approchée de &q, on calcule, à l'aide d'approximations successives, Go et go, dont les expressions renferment un petit terme qui con- I — 17 - tient de,* pour résoudre le système (23), on remarque que la première et la troi- sième équation donnent e^ i et ^21 ^n fonction linéaire de 64 , ; ensuite la quatrième fournit 633 et la seconde e,, en fonction linéaire de Oi^; après la substitution de ces valeurs dans la dernière, on obtient une équation du sex^ond degré en 0,(. Le calcul se fait rapidement, avec une seule approximation; parce que le coefficient de ÔJ, est très petit. Des équations (20) on tire enfin, pour g^, et ^32» 'es valeurs suivantes : ' _ 3 ^GoM; ^GoM' Gom; ^"--^^;Gî^""^lÂr^'*'^"4^ """""X"' qu'on détermine après avoir résolu le système (aS); on peut vérifier, d'ailleurs, à l'aide des équations (20), que le coefficient ô^ — g^^,, qui sera plus loin un des coefficients les plus importants à considérer dans l'expression de la longi- tude moyenne, a pour expression / e? \ n 3 2G0MI a* (a5) 0.._^,. = __,.,+ ^_.__. Quant aux coefficients 0, et g^j qu'on pourrait calculer à part, nous verrons plus loin qu'on n'a besoin de connaître que 0, — ^3 ; avec l'approximation de nos formules, cette différence qui est égale à ^^ est tout à fait négligeable. De même si l'on considère, dans e^, le terme indépendant de e^, on le trouve égal à — jOL2CLi; nous l'avons aussi négligé; un calcul simple montre, d'ailleurs, qu'il se détruirait en grande partie avec le terme qu'on obtiendrait pour e,, si, dans le développement de la fonction perturbatrice, on avait tenu compte du terme en e'cos3ô. (E). Changement de variables. — Après cette discussion, un peu longue mais si importante pour les calculs qui suivent, nous allons remplacer L, G, g, A, par d'autres variables qui offrent, entre autres avantages, celui de faire dispa- raître ^0 du dénominateur. A cet effet, posons LmL, (26) { - Yî = vLe sin{g-^ h), ^ = ^ecos{g'\'h). S. 3 (^7) - 18 - Les nouvelles variables sont définies par des équations canoniques analogues aux équations (2)* comme on s'en rend compte en se reportant à la transforma- tion effectuée par M. Poincaré (*), ou encore aux formules données par M. Tisserand ('), dans lesquelles on néglige les puissances de e supérieures à la deuxième. On obtient aisément, pour les expressions des nouvelles variables, les formules suivantes : te* e' 1 1 1 cos*0o(^-+-c) — e.e^co^Q^{t -\-c) — ^ye, cos20o(^ -hc) — eotfjcos30o(f -f-c) , -*- (^1 — ^î) sin20o(^ + c) — ^;,^— A -h a^'-H 2^'-h 2/i', l =zz y/G^eo cos[^,„ 4- A + ^o(^ -♦- c)] +v/Gi«i cos[^« 4- A — (^0 — ^o)(^ H- c)] 4-v^e,cosL^,„ + /i — (200— ^o)(^-Hc)] + v^G■oesCos[^;„4-/^--(39o---^o)(^^-<^)]• Les deux dernières expressions ne sont exactes que si Ton a les relations Cela a lieu identiquement si, dans les équations (20), on se contente des termes du premier ordre par rapport à la masse; avec les équations données plus haut, cela ne semble plus exact. Si Ton cherche à vérifier ces identités, les termes qui restent se détruisent en grande partie deux à deux, ou ils sont peu importants, ou encore ils proviennent de ce que chacune des expressions de e^, <^2, «,, ^,, 5^2» gi* en fonction de e^, ne contient que deux termes. Nous considérerons donc les relations (27) comme suffisamment exactes; d'ailleurs, le calcul de c^, ^2, e, est plus simple que celui de ^,, g2t g^ ; c'est pour cela que, dans les deux dernières équations, nous avons employé les coefficients e,, e^, e^ de pré- férence à g^,, g., g^. (F). Solution périodique de la première sorte. — Les équations (27) donnent les intégrales générales ou, pour employer le langage de M. Poincaré, toutes les ( * ) Poincaré, Les Méihodca nouvelîcsy t. I, p, 3o. (*) Tisserand, Traité de Mécanique céleste, t. UI, p. 238. — 19 ^ solutions périodiques du problème restreint. Les expressions des éléoients L, \ Y], Ç en fonction des constantes arbitraires Gq, e^, g^^ c sont encore loin d'être simples. Aussi devons-nous choisir, comme première approximation, une solution particulière de ces équations (27). Deux choix sont possibles : ou l'on peut supposer tout d*abord que le moyen mouvement d'Hécube est exactement le double de celui «de Jupiter, ou l'on choisit une solution périodique de la première sorte, dans laquelle on se sert de la valeur exacte du moyen mouvement de la planète troublée. Avant d'obtenir les formules précédentes, nous nous étions inspiré du Tra- vail de M. Harzer pour tirer, du premier Mémoire de M. Poincaré, des formules qui devaient nous donner le mouvement d'Hécube; dans une première approxi- mation, nous avions supposé que les moyens mouvements des planètes troublée et troublante étaient commensurables. La détermination du mouvement des apsides (delà quantité appelée plus haut ^0) provenait de la considération des termes en e' de la fonction perturbatrice; l'influence de ces termes avait été calculée par la méthode des coefGcients indéterminés; dans la recherche des valeurs de ces coefficients et de g^^, on rencontrait, entre autres, la difficulté suivante : les équations ne contenaient que des termes du premier ordre par rapport à la masse, et nous savons maintenant qu'on ne peut avoir ainsi une valeur assez approchée de g^^. Une méthode assez analogue avait servi à M. Harzer (*) pour calculer cette même quantité qu'il appelait ç; dans la déter- mination de ç, il tenait compte du terme du deuxième ordre en m\ Sur les conseils de M. Poincaré, ces formules ont été remplacées par celles qui sont données plus haut. Nous obtenons une orbite plus voisine de la vérité en prenant pour/2 non plus 2/1', mais la valeur exacte du moyen mouvement d'Hécube; aussi avons-nous considéré comme première approximation la solu- tion périodique de la première sorte, particulièrement simple, qu'on obtient en supposant cm O, et en admettant que G^ est la valeur moyenne du demi grand axe de l'orbite d'Hécube. Nous savons que l'origine du temps est choisie de façon qu'à ce mo- ment les deux planètes troublée et troublante soient en conjonction, et que la première passe au périhélie; si nous désignons par J la longitude commune aux deux planètes à cet instant, nous avons J = i',/1 + /i ; (*) Harzer, Untersuchungen ûber einen speciellen FalL, p. 91. - 20 — au lieu de rencontrer des diflScuités dans la détermination de ^o> c'est désor- mais dans celle de Go qu'elles apparaîtront. Dans une première approximation, nous remplaçons ainsi les équations (27) par le système suivant : X=:J-hn/, où n=:6^ — ^j-f- an% (28) { — Yî = «iiVGo sin[J — (00— go)Q, S =e„v^cos[J - (^0- ^o)^l- Notons tout de suite la concordance de ces résultats et de ceux qu'a donnés M. Tisserand dans le Bulletin astronomique (*). Si, dans la première [équation (23), on néglige les termes du second ordre en m\ on trouve e,,= oc,= -Mi- = !!Lm!!±An; ^0 Go 2 ^0 Go la valeur exacte de e^^ diffère très peu de celle-ci; l'expression de e< obtenue par M. Tisserand est identique à la valeur précédente, pourvu que, dans le petit diviseur qu il appelle a, on remplace -, — par — ^ > ce qui revient à changer o- d'une quantité de l'ordre de a^, par suite tout à fait négli- geable. Telle est la solution périodique qui va nous servir de point de départ pour obtenir des orbites aussi voisines que possible de l'orbite réelle. (G). Équations aux variations. — Dès qu'on connaît une solution pério- dique du problème, toutes celles qui en diffèrent peu s'obtiennent par l'inté- gration d'un système d'équations linéaires et homogènes; ce sont ces équations que M. Poincaré a appelées équations aux variations (^). Dans le cas actuel, le problème est simplifié, grâce à cette circonstance que les équations (27) nous donnent l'expression générale de L, X, y], ^ en fonction du temps et des quatre constantes arbitraires Go, gm* e^, c. La solution cher- chée s'obtient en remplaçant, .dans les seconds membres des équations (27), Go, ^0, g,n9 c respectivement par GoH-oGo, S^o, Sg^, Se, et enfin en donnant (1) Bulletin ctstronomique, t. UI, p. 4^3, formule (B). (*) Les Méthodes nouvelles, t. I, p. i6a. — 21 — dans les coefficients de £Go, S^o» ^gmf ^Cf à ^o, c, et g^ les valeurs e,= a, Nous avons ainsi l'expression de L, X, yj, ^» en fonction des quatre constantes arbitraires SG^, ^gmf ^^o» ^^• Remarquons» dès maintenant, que les coefficients de ^g^ et de Se» après qu'on a remplacé ^o par zéro» sont identiques» au facteur constant près : - ôo -+- gi^; 41 est donc nécessaire» pour avoir quatre constantes arbitraires distinctes, de remplacer Go» ^o» gm^ ^ V^^ d'autres constantes. Posons donc Go = Go» £^ = e^ cos c, £'o = «oSinc, Tm = ^m— (^O— ^o)~(0o--^o)^-+-(0n--^ii)eoSin0o^-h(0n--^,,)6;coS0o<---y«--^-H2/'-H2/r'-H2A', (29) { 4- e,i v^Gp £0 sin [ y;« -+- A •- (2 00 -- ^0) -- 4 — v/G^£oCos(y,„^-/^ -+-^oO— v/G^^i sin (y;„4- A-h^oO -+- ^11 V^cos[y;„-h ^ — {Qo—gM -H^iiV^£oCOs[y;„-hA — (200— ^o)0+^îtV^Gi£;sin[y^-hA — (2 00 — ^o)0- Les coefficients de SGo, Se©» ^^o» ^T»"» analogues aux coefficients des quantités oGo, 8e^, ^gm* oc» citées plus haut» s'obtiennent en calculant» dans les équations (29), les dérivées de L» X, y), Ç» respectivement par rapport à G©, £0» ^i? Y»»' P^is en remplaçant» dans les résultats, e© et t^ par zéro et y^ par J — A. On a ainsi : — 22 — dL dL Ék ds', dL dym EU dG, = 1, j— = — eiiUfCOSOft, e,|GoSin9«<, ^ =(011 — ^ii)sinÔo^ dl dt 7 =(0ll — ^il)COSÔor, = 0, IL dy„ (Ô.- 5'.)0 - «'«V^G.^^-^ r cos[J -(0.-5-.) a (eiiS/G.) (3i) e„v/G",B'j sin [J - (9, -g,)t] ^^e„\/GoB'Jfcos[J-(9,-^,)0 -t-Ce„v/Gicos[J — (9, — ^o)^]+Bv/G^sin(J+;yor) + BVGicos(J + ^oO H- Be.VG^sin [ J — (aôo— «-o)'] -t- «•tV'G^B^sinCJ — (3 9, - ^»)/], — Ae.iV'Gl dG« <^Go = Uii\/6ô 1 Ac„v/G^ <»(guV/Go) dGo ruV/G.B'j cos [ J - (9, - ^,)f] ■ye„v/G;B»j«sin[J-(9,-^.)f] «-oO dG, 2G; — Ce,, v^sin[J— (9, — ^,)f] -+- Bv'lî^cosCJ-t-^o^) — BVGrsin(J \ + Be„v/6lcos[J— (a9o — gt)t] ■+■ Cus/GIb* cos[ J — (39, — gt)t]' 4. Influence des termes en e'. — Nous avons obtenu une première approxima- tion de la question proposée, en supposant e' = o. Pour tenir compte, désormais, des termes de la fonction perturbatrice qui renferment e', rappelons-nous que L, X, r;, ^ sont des variables canoniques; par suite, si Ton désigne par L,, X,, y),, Ç, les valeurs de L, X, y], ^ données par les équations (28), par $L, ^, $y], 8^ les accroissements de ces quantités, prove- nant des termes en e', par R, la somme des termes de la fonction perturbatrice qui contiennent le facteur e', nous avons dt ~ dL di iL i\ -im=^~hiL^^i-K dt dV dLdk dt an dL àti dX A">cos«(A' — X) -i-/n'/ia*c y^- — . , , . r — ^-^ I n' — n ^i^ -i^ m' — {i — i)n j 1=1 1=0 xcos[/X'— (« — 1)> — gt] i = * — m' nà^e zr('î«-f-i)A"'-+-AÏ'] 2à {i^i)n' 1=1 (« -l-i)w' — in (37) X COS [(« -h \)V — A — ÏÏJ'] —-{m'ua^e^ > ^^ -^=^ ^ — r- — ^-^^ — ^ / = a X COS[/X' — (i — 2)X — 21ÎJ] _^i / , , v(*'-0[(4^'*4-20A<''-h(4«-+-2)A';'-i-2Aï)] «=i X COS[(i-Hl)X'— (i — l)X — ET — GJ'], (*) Le VBaRiER, Annales de V Observatoire , t. I, p. 268, et t. H, p. 21. (*) Tisserand, Traité de Mécanique céleste, t. I, p. 809 ot 827. — 28 — et 1=5 * 'sin*(X'— X) 1=6 1 = / = * 2 1 = 1=5 2 i = S \m!n}ae r- / — r^ , ^^ ' •*• — " m' nae in' —(1—1)11 X sin[/X'— (£ — OX — cr] U) [(f -M)/i'— i/i]* {i-k-i)n'—in > X sin[(i-M)Â' — «X — «t'] ,„,_, (/-2)[(4i''-5i)A<-)-^(4i-2)A4-8iAÏ'-i-6A=:1 (37) \m* naee « = 5 ( t 4- I ) w' — ( ï — I ) /i X sin[(i-+-i)X' — (i — i)X — cj — t!t'], d,e r X-^-j — r^ r- cos[«X'— (« — i)X — Gj] 1=0 1 = 5 m'na e v (4*''— 50A'')-l-(4/— 2)A Jmd m' — {i — i)n l \ / j 1 = 1=5 m'na c ^ (4/*— 5i)A<''i + (4«- 2)Aïr-+- 2AÏ cos4' 4 2 1=8 1=4 {i) in' — {i — 2)n X sia[«X'— (/ — 2)X — 2ïïjJ m'na e' y^^ (4'*-4-2/)A cos4' 4 il (i) (4«-+-2)Aï'H-2A — 4X' -h ih ) On tire de là les nouvelles équations : (4o) { dh M7 Mg , ^ ,^, , . ^ • ' cos(a> — 4^ -H 2/1). (i^ 2L 2L Si nous remplaçons -^ par -^> L par G^, et que nous posions : (4l) J7i=i> — - 2X'+A, les équations (4o) deviennent, en se rappelant qu'on a posé plus haut ""'--0;:^' Ml ^oGo di «8 . . dix — h) dx 2 a^ (42) 6^57 V 2 2 / dx Le système (42) est équivalent au système suivant : rf(a:~A)=- ''^ I ' -\ ^C0S2J? 2 2 (43) di ag syi o.xdx (2 a7 ocg , 1 ^ 5 C0S2^ 2 2 La dernière de ces équations s'intègre de suite; en désignant par i^ une con- — 32 - stante, on a (44) -1 . / «7 «g \"' 1=zIq{ l \ C0S2J? ) . V 2 a J Pour calculer A, posons, dans la première équation (43) on obtient ^_ «7 _ «8 14- A* 2 2 1 — Â:* ' kdjc ,, ,^ I — k' cos*;r a{x — h) =: Xq étant une constante d'intégration : on a donc pour A l'expression (4^) X — fi'\-x^=i —r arcAlangjT, Les expressions de « et de h peuvent, par suite, se mettre sous la forme sui vante : tang[A4-(&o — ^o)^ — J] (46) T 2 2 i zzzioj I— ÎI -+- ^ C0S[2A 4-2(00—^0)^— aJ] . (22 ) 4-(0o-^o)^"-Jlj, A la première inspection de ces formules, qui semblent un peu compliquées, on voit que, pour les applications numériques, on pourra les transformer aisé* ment de façon à avoir des expressions simples de h et de i. Nous avons déterminé également les perturbations périodiques de h et de i\ pour cela nous avons^employé les formules (Sq), et pour les intégrations nous avons supposé h et i constants dans les termes qui contenaient la masse. Pour vérifier ces calculs, nous avons, en outre, fait usage des formules données par M. Tisserand pour le calcul du nœud ascendant et de Tinclinaison (*). Nous ne transcrivons pas les expressions algébriques de ces perturbations que nous avons dû négliger dans les applications numériques; lorsque nous arriverons à ces dernières, nous pourrons expliquer plus clairement les raisons qui nous ont conduit à cette suppression. (*) Tisserand, Traité de Mécanique céleste, t. I, p. i6g. - 33 - 8. Variations des constantes d'intégration. — Supposons que par une mé- thode quelconque on ait obtenu des valeurs approchées des constantes d'inté- gration; pour en avoir des valeurs plus exactes, nous comparerons les positions d'Hécube fournies, d'une part, par les formules précédentes et, de l'autre, par les observations. Ce sont les équations nécessaires à ces calculs que nous allons do-nner ici, de façon à avoir toutes les expressions algébriques qui nous seront utiles, lorsque nous aborderons les applications numériques. Désignons par^/A, û^B, ... les quantités à ajouter aux valeurs approchées de A, B, . . ., et supposons que les carrés de r/A, de rfB, ... et leurs produits deux à deux soient négligeables. Nous nous servirons, en changeant un peu les notations, des formules don- nées dans le Traité de VVatson (' ); désignons par A', B', C, a, b\ c' les constantes équatoriales relatives à l'orbite d'Hécube; X, y, :;, r, A les coordonnées héliocentriques d'Hécube, ses distances au Soleil et à la Terre ; .K, ^ l'ascension droite et la déclinaison de la planète; E, V, Il l'anomalie excentrique, l'anomalie vraie, l'argument de la latitude; £ l'obliquité de l'écliptique. Si rf.R, dS sont les différences entre les positions d'Hécube fournies par l'ob- servation et le calcul (obs. — cale. ), et dx, dy^ dz les variations correspondantes pour X, j, 5, nous avons sin*1\ . cos.1^ / ^ ,,, sm.ii , cos.tt , L cos 6 a.u =z — dx h -r — dy, (47) i .^ cos.î\sin8 , sin.Rsind , cos Les expressions de dx, dy, dz, en fonction de rfr, du, dh, di, sont : ' dx ^ sin a' sin ( A' -^ u) dr -h r sin a' cos ( A' -h « ) du t ~~ [/cose -h :; sin£]^/i -h r sinw cosa^di, I dyz= sin 6' sin (B' -h u)dr -i- rslub' cos(B' -\- u)da (48) ' -^ -i- X cos £ dh H- /' sin u cos b' di, dz = sin c' sin ( C + « ) dr -h /■ sine' cos ( (7 h- u ) du \ -h X sin sdh-h r sin u cos c' di; Ces formules (47) et (18) sont extraites du Traité de Watson. Pour calculer ensuite dr et du en fonction de rfL, rfX, rfy], dl, nous commencerons par écrire (*) Watsox, Tlieoreùcal Jstronomr..,, p. 119. S»» •1 - 3i - les équations suivantes, dont les notations sont bien connues : U - (' H- CT — //, lang - =: lang (45" -h j-^ ) lang j , ^/^ / X — 5T — E — ^sinE, rziz a(i — ecosE), Y] --evXsincj, Si Ton prend la dérivée logarithmique de la seconde équation (^9)el qu'on remarque que eet gt sont donnés par les relations suivantes : on a immédiatement 6-5-1 ;*H-Y)^ L 1 tang ET n .,- -H 1 • ) (.ïo) ( (W _ _r/E siiii' " siiiE ' cos'^ dk — ^Bj = c^E ( I — c cos E ) — sin E de^ cos'>]^^/d' --^/e, 6'^e - Le' ' Les équations (5o) définissent les cinq quantités (U\ dxs, d'\i, de, rfE, en fonc- tion de rfL, rfX, rfy), rfç. On peut les écrire ^ COS'l» , cdc-hf) dri e dL de ■=^- - — —, - — • — — r- > L e 2 L ( )i) duy r - 5 î— ^, :, , Le- /,, *TE ^ a Id-n — fldi a ^ / cdc -h-ndri e dL dh z= ~ dk ,— r ■• 4- - SiiiE - — -^ ,- /' /• Le' /' \ Le 9.L , a sin V / ^ tdr\ — f\dl . ^cdc-^- ridri e sin E d\^ \ dv — - ,— c, U/>v — ■ - --r — ^ -h smE ^— "-Ï 1 /•smt\ Le* Le aL / sini' ,.,,>. . , esint'û^L Le cos* 4* 2Lcos*'i^ — 33 -- Des équations (49)» (5o) et (,|>i), on tire, après des calculs simples el en utilisant la relation r sin V --- a cos ^ sin E, les expressions suivantes de du et de dr en fonction de rfL, rfX, dr\, d\, dh, du z=L .— - -h — -,- ) ciL-h { - cosvL» a/, (5.) < +j[.-(^ycos4-]| + (^ + ^-^)v,sin..j^-rf/,, dr — - — -y ' ie~ cosE) 2 L aL H r- aA La 4 ' J cosu/ r- -4- - ç,{e~- C(/sL) — é/£H- -T,(e— cosE) p — t/r]. L cos^^ /• J ^ ' L' cos^j/Je Il reste à calculer r/L, û?X, ^yj, rf^ en fonction de rfA, rfB, JB', rfC et aussi en fonction de rfJ, rf/, rf/i ; car nous devons, au début, adopter pour J, n et Tépoque, des valeurs approchées. Ces expressions s'obtiennent immédiate- ment au moyen des équations (38). Il semble donc inutile de les écrire. Avec les relations (47)» (\^) ^^ (^2), elles définissent f/A, dB, rfC, ... en fonction de dA\ et de do. Si nous remarquons qu'il faudra, dans le calcul de rfB, tenir compte de ce que les équations du mouvement contiennent des termes en B^, nous en con- cluons que la variation rfB devra être calculée la dernière et sera donnée par une équation du second degré. Les équations différentielles ainsi obtenues nécessiteront, au début, un grand nombre d'approximations, parsuite de la façon compliquée dont les constantes J et n entrent dans les équations (38 ); il sera même utile de négliger tout d'a- bord rfJ, dn et dt. Pour calculer dn, qui est précisément la variation du petit diviseur, il faut, dans les équations (38), différentier non seulement les arguments des sin et des cos, mais aussi les coefficients; nous nous sommes contenté de prendre les valeurs principales de ces coelFicienls, c'est-à-dire leurs expressions du premier ordre en fonction de la masse, excepté pour Gp, 0„ — <[,%, ^y, dont les dérivées par rapport à n se calculent simplement. Pour nous rendre compte de la difficulté d'avoir la valeur exacte de /?, repor- tons-nous, par exemple, aux équations (19); le coefficient 0,, qui entre en fac- teur dans l'expression de la grande perturbation de la longitude moyenne, contient le facteur^; le calcul de dn nous donnera donc le facteur y? ou ^7^/' a - 36 - Ce calcul n'est possible que si d^^ est plus petit que 60; nous verrons plus loin que si Ton prend tout d'abord pour n une valeur osculatrice du moyeu mouve- ment, r/Oo et Oq sont du même ordre de grandeur; pour cette raison, et par suite aussi de ce fait que, dans le petit diviseur ^» on se sert d'une valeur bien inexacte de Oq, les premières approximations du calcul de dn donneront des résultats très peu précis. Nous devons donc nous attendre a calculer plusieurs fois les coefficients de la fonction perturbatrice qui sont des fonctions du demi grand axe a de l'orbite, puisqu'à chaque changement de n il faudra aussi changera. - 37 - CHAPITRE II. 1. Détermination de J et de l'époque. — Après avoir transcrit toutes les for- mules qui seront nécessaires dans la suite, il nous reste a indiquer la marche à suivre pour déterminer les valeurs numériques des constantes introduites dans les équations (38) et (/|6). Au début de ce Travail, nous avons fait de nombreux tâtonnements dus, en grande partie, à l'usage de formules incomplètes. Nous allons, aussi succinc- tement que possible, indiquer les méthodes employées, dans le but de mon- trer les difficultés rencontrées; nous verrons ensuite comment on peut diriger les calculs pour arriver aux mêmes résultats, plus simplement et plus rapide- ment. Tout d'abord, pour calculer! et l'époque, nous avons cherché à quel instant Hécube et Jupiter sont en conjonction et ont une longitude héliocenlrique de 170** environ. Les divers éléments de M. Schulhof, que nous donnons dans un . Tableau d'ensemble, à la fin de ce Travail, avec les notations employées plus haut, indiquent, dans la longitude du périhélie d'Hécube, une variation de G® environ, entre les années 1869 et 1894. A cela, d'ailleurs, il n'y a rien d'éton- nant; nous savons, en effet, d'après les recherches de M. Tisserand, que, dans le casactuel, l'excentricité a de très grandes perturbations; si l'on ne considère que les termes principaux, les expressions de Scetdeeocr ne difïèrent qu'en ce que la première contient les arguments sous le signe cos, et la seconde sous le signe sin. L'excentricité d'Hécube passe par un maximum vers 1894; c'est donc la longitude du périhélie qui varie beaucoup dans l'intervalle de temps dont nous nous occupons. Il résulte de là qu'on ne peut bien déterminer, dans une première approxi- mation, l'époque et la longitude correspondante du périhélie. Il a paru qu'on pouvait prendre pour origine : 1897 septembre 23,5, temps moyen de Paris, et en même temps, J= 166° 36'. J est rapporté à l'équinoxe moyen de ï85o,o; dans la suite de nos calculs, il en sera de même pour les éléments d'Hécube. - 38 - "2. CxVLcuL DE n. — La première valeur de n a été calculée, en comparant les longitudes moyennes d'Hécube en 1869 et en 1892. Pour cette dernière année, nous avons tenu compte de la correction -4- i6'4o", indiquée par M. Luther {Asir. Nach., t. 132, p. 222). A ces deux époques, la planète était à peu près dans la même partie de son orbite; on n'avait donc pas à craindre d'erreur provenant de l'équation du centre, en déterminant n de cette façon. Si l'on considère le premier système des éléments de M. Schulhof, donnés dans notre Tableau ou dans le Mémoire de M. Harzer, et celui qui est relatif à l'année 1892, on trouve, par un calcul simple, que la longitude moyenne d'Hé- cube, rapportée à l'équinoxe moyen de i85o,o, est : iSriD'^o' poar l'époque : 1869 avril 5,5, t. m. de Berlin; et 2i6"37'5c)* pour l'cpoque : iStj-i oet. 12,0, t. ni. de Berlin; on a donc pour n "~ i3x"365~ï-"6'+- i89,V on tire de là : n = 616', 966. ('/est avec la valeur // = 617" que nous avons calculé Go et les diverses fonc- tions de Go. De plus, nous avons admis qu'en réalité Hécube était à son péri- hélie à l'origine du temps; en d'autres termes, nous avons tout d'abord négligé W; nous avons fait de même pour B^; nous avons aussi calculé les divers coef- ficients contenant la masse m\ sans tenir compte des termes en mf\ 3. Calcul des constantes d'lntéguation. — Nous avons cherché à obtenir les constantes A, B, C, en comparant les valeurs de L, X, y], ^, fournies par les for- mules (38), à celles qu'on tire du Tableau des seize systèmes d'éléments oscula- teurs. Nous avions ainsi 64 équations linéaires en A, B, C. En remplaçant par une seule les seize équations provenant d'un même élé- ment, on obtenait enfin quatre équations qui, résolues par la méthode de (]auchv, nous donnaient: logA.=^ 4,857 3y5, logB — - 7,028600, logG = 5,999859//. Mais, lorsqu'on avait déterminé A et B en fonction de C, les quatre équations, qui définissaient cette dernière constante, étaient si peu compatibles entre - 39 — elles qu'il a paru utile de calculer A, B, C successivement au moyen des équa- tions relatives à chacun des éléments L, X, y], $. Nous avions ainsi quatre systèmes de seize équations en A, B, C; dans chacun d'eux, nous avons groupé les équations quatre par quatre, de façon à n'en avoir que quatre k résoudre au lieu de seize. Nous avons ainsi obtenu quatre valeurs de A, B, C, que nous désignons par A^, A)., Ayj, A$, B^, . . ., Q, et que nous trans- crivons ici : logAL = 5,95i 3i2, logAx = 3,549608, logAy; = 7,06087"), logAç = û,3ii 988/^, logBL ^ ^,894580, logB> = ^,5i83i8. logB^^ = 7,538388, logBç = 7,o3i iSj, logCx = ^,045262, logCyj = o, 122 181, logCç = 7,618990//. m Nous voyons que B est relativement bien déterminé, si l'on compare les diverses valeurs de B à celles de A et de C. Pour savoir si les équations qui servaient à déterminer A, B, C étaient compatibles entre elles, nous avons remplacé, dans leurs premiers membres, les inconnues par les nombres donnés ci-dessus, et nous avons obtenu de forts résidus; par exemple, les quatre résidus qui concer- nent X sont Dans les équations qui donnent X, J et C entrent par leur différence J — C; si J est mal déterminé, on obtient pour C une valeur erronée, et les éléments L, X, Y), Ç, ne sont pas, tout d'abord, assez bien déterminés pour permettre une comparaison des formules aux observations et le calcul des coefficients des équations différentielles (47)f (4«^) et (^-)- Devant l'impossibilité d'obtenir, des le début, des valeurs plus approchées de J et de C, nous avons introduit une nouvelle constante additivc dans l'expression de X. Les résultats ainsi obtenus n'ont pas été meilleurs; nous avons donc cherché à tenir compte de ce que la conjonction d'Hécube et de Jupiter n'avait pas lieu au moment du passage d'Hécube à son périhélie; au lieu d'introduire la con- stante B', nous avons, dans les expression de L, X, y], $, remplacé t par / H- c, et calculé des valeurs approchées de c. Au premier essai, les formules ainsi trans- formées représentaient les diverses observations d'Hécube avec une erreur moyenne de ±: i"*3o*; l'écart maximum était de 4"' 2% il était relatif à l'opposi- tion de 1892; pour cette année, l'éphéméride calculée avec, les éléments de M. Schulhof avait besoin des corrections suivantes : I '» 26*, Il'20\ — 40 - Hécube était, en ce moment, voisine de son périhélie. Cette opposition a com- mencé, dès lors, à attirer notre attention. En corrigeant empiriquement les constantes, nous avons obtenu, au lieu de 4»»2% le résidu plus faible r"4i* correspondant a l'opposition de 1892; mais, dans cette nouvelle approximation, le résidu moyen était encore de rt 1^27* et. le résidu maximum de 3"'52^ Quoique les derniers éléments ainsi obtenus fussent assez peu approchés, nous nous sommes décidé, devant l'impossibilité d'obtenir de meilleurs résul- tats, à calculer les coefficients des équations différentielles (47)» (4^) et (32), qui devaient nous donner t/A, rfB, rfC, ainsi que dh et di. Si nous n'avons pas, jusqu'alors, fait mention des constantes x^^ i\ des équa- tions (46)» c'est qu'on les calcule très simplement en comparant les expressions de h et de « aux nombres donnés par M. Schulhof; cette détermination ne pré- sente aucune difficulté, et, comme nous nous sommes surtout occupé de la re- présentation des ascensions droites d'Hécube, il nous a suffi de calculer r/a^p, diQ, tout à fait en dernier lieu. Ayant enfin les équations qui nous permettaient d'obtenir des valeurs de plus en plus exactes de A, B, C, quelles que soient les premières adoptées, nous avons recommencé à calculer A, B, C, de façon k représenter les divers sys- tèmes d'éléments osculateurs, en supposant désormais : c = o, et en supprimant la constante auxiliaire introduite dans l'expression de X. Avant de parler de ces recherches, nous croyons utile de donner le Tableau des observations qui nous ont servi dans ce Travail. Autant que cela nous a été possible, nous avons choisi, pour chaque opposition d'Hécube, plusieurs obser- vations faites le même jour, et nous avons calculé une observation fictive qui les remplace toutes. En raison de la grandeur des différences entre la théorie et l'observation, nous n'avons jugé utile, à aucun moment, de calculer des lieux normaux pour les différentes oppositions. La première colonne du Tableau suivant contient la date de l'observation; la seconde, l'heure, exprimée en temps moyen de Paris, et diminuée du temps d'aberration ; les deux suivantes renferment l'ascension droite et la déclinaison rapportées a Téquinoxe moyen du début de l'année où a été faite l'observation; enfin, les dernières donnent les lieux d'observation et les publications où nous avons pris les positions d'Hécube. - Al — Dates. T. m. de Paris — t. d'abcrr. 1869. Avril 6 9. 3.49 A moy. h m ■ 12. 3. la, 18 § moy. — 2. 10.26,5 1871. Sept. i5 8.57.26 22.30.35,98 —10.44.42,8 1874. Janv. 11 7.52.40 7.47.48,37 26.50.39,8 1875. Avril 11 i3.i6.4^ i3. 44- 16,47 — i4'5o.5i,o 1876. JuiU. 14 1877. Sept. 2 1878. Nov. 16 10.39.52 12.37.53 8. II .39 19.27.44,06 23.42.43,06 3.28. 3,92 -27.33.35,6 - 2. 0.32,6 24.38. 1,0 1880. Févr. i 8.35.3o 9.23.59,47 19.25.54,6 1881. Mai 19 9.37.53 1886. Janv. 3i 9.19.16 1888. Août 3 • 12. 7.52 1889. Oct. i5 7.30. 4 i5. 3.50,87 11.10. 4,36 21.52.22, 1.19.56,97 23.17.46,3 7.26. 4,7 ■16.18.29,9 11.48.36,0 1892. Mars 24 ii.i5.46 12.20.42,67 — 3.56.42,5 1894. Août 8 10. 16. 25 22.55. 14, 5o — 8. 5a. 40, 2 Lieux d'obscrv, Leipzig J.N, Berlin » Vienne » Berlin » Berlin.. » Pola ........ u Dûsseldorf. . . u Leipzig » Berlin » Leipzig » Berlin » Leipzig » \ DUsseldorf. . . » j Pola » Vienne » Rome » Hambourg ... » Vienne » Hambourg... » DUsseldorf. . . » Rome J.N. Nice £.J. Publ. 74, 81, 79, 81, 84, 83, 86, 86, 88, 89, 94, 94, 97, 98, 102, 116, 127, 125, 131, 132, 133, 12, 23 1 91 345 91 25 1 io5 65 193 35 353 263 i63 259 129 p. 281 p. io3 59 257 93 217 241 33 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 4. Premiers essais. — Avec la valeur de n. n = 617', les valeurs de Â, B, C, qui jious ont paru les plus probables, sont définies ainsi qu'il suit : logA = 2,386554, logB = 2,966525, logC = 1,020845. Les observations étaient ainsi représentées avec des erreurs comprises entre — 29™ et 4- 27™ en ascension droite. En calculant rfA, rfB, rfC, rfJ, dn, on trou- vait, entre autres valeurs, rfw=— 16',9; étant donné ce résultat, nous avons négligé de corriger n ; à Tapproximation suivante, les résidus étaient compris entre — 4™32* et 4- 1"26% et les nouvelles déterminations de A, B, C, J étaient : logA logB loge J 2,o583oo, 2,998600, 2,736356, 170° 36'. S. - 42 — A ces nombres correspondaient, pour les quatorze oppositions considérées plus haut, les différences (0 — C) entre l'observation et le calcul, que nous donnons ci-dessous : n=6if- Dates. O-C. 1869... m • — O. 4 1871... — i.3i 1874. . . — O.'ài 1875... -+- 0.38 1876 . . . — O.IO 1877... — o.3> 1878. . . — o.aT Dates. O — C. 1880... m s -t- 0.53 188t . . . -h 1.32 1886. . . -H 0.25 1888... -i- O. i4 1889. . . — o.iS 1892... — 0.37 1894... — 0. 8 Comme ces résidus étaient faibles relativement aux précédents, nous avons de nouveau calculé les équations différentielles qui nous ont donn'é ) Harzer, Quelques remarques . . .; p. 11, on lit : « Pour donner une notion de l'inOuence des termes de second ordre par rapport à la masse, j'allègue que, pour le mouvement c des apsides, j'ai obtenu à peu près 68 pour 100 de la valeur complète des termes du second ordre, 32 pour 100 des termes du premier ordre par rapport à la masse troublante. » -- 45 - Le plus grand résidu était encore relatif à Tannée 1892. Nous avons fait ensuite de nombreux essais dans lesquels nous tenions compte des divers termes du deuxième ordre par rapport à la masse qui, tout d*abord, avaient paru négligeables. Dans aucun cas, les résidus n'ont été infé- rieurs à ceux du dernier Tableau. Nous avons alors cherché empiriquement quelles corrections il fallait appliquer à certains coefficients, g^^ O4,, par exemple, pour rendre nos formules plus précises. En face de résultats sys- tématiquement négatifs, ou tout au moins illusoires, nous avons acquis la conviction que l'importance des résidus était due, en grande partie du moins, à ce que les formules employées étaient incomplètes; nous avons donc tenu compte des nouveaux termes que des calculs plus approchés semblaient devoir introduire dans les expressions de L, X, y], ^, et nous avons déterminé empiri* quement leurs coefficients. En ajoutant aux seconds membres des formules qui donnent y] et ^ un terme en ___[J — (30o — ^o)^Jf dont le coefficient avait pour log 3,5ooooon, nous sommes enfin arrivé aux résidus suivants : Dates. O-C. 1869... m s -h 0, 3 1874 . . — 0. 5 1874.. — 0.20 1875... ~ 0. 6 1876.. — 0. 4 1877... — 0. 9 1878... — 0.14 Dates. O-C. 1880- . . m 8 ~ 0. a 1881 . . . H- 0.29 1886... — O.IO 1888... -H 0. 9 1889... — 0.16 1892... — 0.22 1894. . . -T- 0.24 En présence de ces résultats, suivant les conseils de MM. Poincaré et Tisse- rand, nous avons tenu compte des termes qui ont l'un ou l'autre des coefficients B* ou B', et nous avons recommencé les calculs, en adoptant la première valeur choisie tout d'abord pour n^ à savoir : n = 6 17', 000. On peut constater, en effet, que le nombre 609", 894 est bien différent de ceux qu'a donnés M. Schulhof et que, dans nos premiers essais, aux deux valeurs de /ï, n = Ci 7', 000 et n = 609', 894, correspondaient des résidus tout à fait comparables. Pour nous rendre compte de ces grandes variations de /i, qui sont absolument du même ordre que n — 2/1', (n' = 299% 128), reportons-nous à l'expression de - 46 ~ la longitude moyenne, où n et A entrent par l'expression (/i -h A)/. Il en résulte qu'après avoir calculé SA la détermination de S/t est peu précise par suite de la petitesse des coefficients ; les expressions numériques montrent en eilet que, aprësavoir remplacé oA, SB, . . . par leurs valeurs ^en fonction de in et des iermes connus, la somme des coefficients de un n'est plus que ^^ de ce qu'elle était dans les équations primitives. Au contraire, les termes connus (0 — C) restent encore assez grands pour que, dans certains cas, on obtienne pour n des variations de plusieurs secondes d'arc. Nous n'avons, en général, corrigé n, que s'il en résultait une diminution sensible des résidus. Même dans ce cas, les cal- culs directs nous ont prouvé que la variation S/i, donnée par la résolution des équations en SA, oB, SC, ..., était quelquefois illusoire; nous n'avons pas cru utile de parler de ces recherches. Ceci provenait, sans aucun doute, de ce que les coefficients de SA, SB, ... et surtout ceux de Sn contenaient des valeurs inexactes de A, B, ..., n^ et que la grandeur des résidus ne tenait pas tant à l'inexactitude de A, B, . . ., n, qu'à l'insuffisance des formules dont nous avions tiré les expressions de L, X, y], $. Les mêmes remarques s'appliquent au calcul de l'époque; si l'on détermine d'abord SC et ensuite S/, la somme des coefficients de S/ est réduite à ^ de ce qu'elle était tout d'abord; aussi n'avons-nous pas indiqué les multiples chan- gements de l'époque auxquels nous ont conduit les équations en SA, SB, .... 6. Derniers essais. — Nous sommes donc revenu encore à la première valeur adoptée pour /i, n = 6i7'',ooo, d'où logGo = o,84i366, et nous n'avons plus négligé les termes des équations (38) contenant l'un des facteurs B^ ou B'. Pour avoir à très peu près A, B, C, B', J, nous avons supposé J = 166° 36', et calculé A, B, C, B', en écrivant que les équations (38) donnaient, poitr 1869 et 1892, les longitudes moyennes, les excentricités et les longitudes du périhélie obtenues dans les derniers essais dont nous venons de parler; il résultait de là pour J une nouvelle détermination; un second calcul suffisait pour avoir A, B, C, B', J. Après quelques approximations, nous avons trouvé ~ 47 - pour voir si cette correction était bien admissible, nous avons diminué n d'une quantité inférieure à 3''. Il était plus simple de corriger d'abord Go et n ensuite; nous avons donc pris : logGo= 0,841800, n = 61 5", 223. Avec ces nouvelles constantes et les mêmes formules que dans l'essai précé- dent, nous avons trouvé ht = — i',4. Il résultait de là que, si nous appliquions encore à /i la correction — i",4» la troisième approximation correspondrait à la valeur exacte de /i. Nous avons donc adopté les nombres suivants : logGo= 0,842200, n = 61 3', 574, nous n'avons plus trouvé désormais pour un aucune valeur sensible. C'est donc avec ces nombres que nous avons repris définitivement tous les calculs. 7. Simplifications possibles. — Avant d'arriver aux calculs numériques défi- nitifs, faisons quelques remarques sur ces essais successifs. On voit qu'il y a des difficultés à déterminer la valeur moyenne de ;i, lorsqu'on n'en connaît que des valeurs osculatrices; ces recherches sont encore pénibles dès qu'on fait usage des formules plus complètes qui renferment le petit diviseur d'une façon plus compliquée. Les calculs successifs des coefficients de Laplace et des diverses fonctions du demi grand axe, que nous avons introduites dans nos formules, sont eux-mêmes assez longs. H serait donc utile de diminuer le nombre des tâtonnements. Il semble qu'on pourrait y arriver de la manière sui- vante : Si l'on suppose que la valeur adoptée pour Go n'est pas trop éloignée de la vérité, dans les expressions de L et de X, les termes A et A ^T^ / sont peu importants et, par suite, le moyen mouvement osculateur au temps /, est à peu près égal à 7i-hBÔo(0ii — 5^11)00860/ — B' 80(611 — ^11 )sin 60/; cette quantité, obtenue en formant -7r> se simplifie beaucoup dans le cas actuel; nous savons, en effet, que B' est petit par rapport à B, que t est nul en 1897. Si -^ 48 - nous considérons les derniers éléments de M. Schulhof, relatifs à l'année 1894» où nous voyous que la valeur osculatrice du moyen mouvement est, à cette époque» nous obtenons, pour la valeur moyenne de n, Téquation w-f-BOoce,,— ^,0 = 617,8, ou, en remplaçant 6,, — ^n par sa partie principale, ^ 3BM, . „ n -h . j-TTï = 617,8. Si l'on adopte pour B et Go les derniers nombres fournis par nos approxima- tions, on trouve /i-h-^^^^ =617,8, d'où // = 61a', 7. Ce nombre diffère de moins de i" de celui que nous avons choisi pour les cal- culs définitifs. Gomme toutes les valeurs de B ont constamment peu différé entre elles, que d'ailleurs B est à peu près égal à l'excentricité, on voit qu'on peut obtenir, dès le début ou après un premier essai, une valeur très approchée de n. Le calcul de Â, B, B', G, J peut aussi se faire rapidement, en adoptant la mé- thode qui nous a servi dans nos derniers essais. Enfin nous aurions pu tout de suite obtenir, avec une approximation suffi- sante, les coefficients des équations qui définissent SA, SB, . . ., en nous servant des systèmes d'éléments osculateurs de M. Schulhof. 8. Possibilité d'une commensurabilité exacte. — Si nous appliquons ces remar- ques au cas d'un astéroïde pour lequel la commensurabilité serait plus appro- chée que pour Hécube, nous allons voir que le moyen mouvement osculateur peut, à un moment donné, être exactement le double du moyen mouvement de Jupiter. En effet, pour une planète dont Torbite a une excentricité peu différente de celle d'Hécube, on peut considérer que le coefficient 3BM, — 49 — est égal à 74» 5> comme plus haut; si nous écrivons n ± -Zlli_, = »„', nous trouvons que n est égal à Tun des deux nombres 6o6',8 ou 58, ..., 6^*^ et leurs quatre premières dérivées par rapport à a. Pour cela, nous nous sommes surtout servi des formules données par M. Tisserand ('). Pour avoir b^^\ nous avons eu d'abord recours à son expression donnée par Le Verrier (^). On obtient aussi b^^^ très rapidement à l'aide d'une méthode dont s'est servi M. Harzer, en prenant la moyenne arithmético-géométrique de i et de v^i — a*. ( 1 ) Tisserand, Traité de Mtfcauique céleste, t. I, Chap. XVII. (*) Le Verrier, Annales de l'Observatoire y t. Il, addition au Chap. V, p. [2J. S. - 50 — Si, en effet, on forme successivement la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique de deux nombres m et n, qu'on opère de même sur les deux nom- bres ainsi obtenus m, et n^ et ainsi de suite, on obtient deux séries de nombres qui ont une limite commune [jl et Ton a, d'après la transformation de Landen, r^ d^ /*" ^ _if. Dans le cas actuel, [jl désignant encore la moyenne arithmético-géométrique de I et de v^i — a*, nous avons il /cos* rfût* iU)c=: [2,998116], = [T,863o3o], rf//*J = [o,663o5o]; = [1,440209], = [2,293005], d* ^<«> d^ //«^ A<«': [2, 133366], Ai»' [3,969823], Ai*' [2,045081], Ai*' [2,i3i993], Ai*' [3,io56oo], A(»^ [3,762398], Ai»' [2,053272], . Ai*' [2,i45i94], Ai»' [2,187814], Ai»' [3, 65 1 546], [2,047871], [2,069030], [2,049712], [2,142812], [î, 853664], [3,597951], [3, 983619], [2, 156886], [2,227459]. Pour les calculs de h et de /, nous avons eu besoin de c^^\ c^*\ B^*^ B^'^; ces quantités sont données ci-dessous : c(*' = [0,666604], B<»' = [2,565972], cW = [0,376617], B<»' = [2,275987]. Les valeurs des expressions désignées par M/ et de leurs dérivées premières - 82 — et secondes. M] , MJ, faciles à calculer en fonction de Xf^ sont Mo = [5,i3837!i], Al, =[6,64283cj], M, = [5,142765], M3 = [5,280252]. M* = [6,689075], M, = [5,754'î97]» Me = [6, 808200],,, M, = [5,244899], M. = [6,954914], w; = [8 ,919777], m; m; = [7,599451], M'; m; = [7,893648], m; m; =[6, 28 5220], MJ m; = [7,610571], m; W, =[6,66i499l, M; = [7,8433io]«, [9,6io568], [8,627609], [g, 62808 5], [7,2585o9], [Î^,5i384i]. On a adopté, poiii* la masse de Jupiter, m' = — 7 — 5-1 nombre obtenu par M. Schur et considéré par M. Tisserand comme le plus probable. (Voir Annuaire (lu Bureau des Longitudes, 1889, p. 682.) Avec ces données, on obtient aisément Oo, 0,, . . ., e^, e^^ . . .,^0* 8^* Dans l'expression de O», nous avons le petit terme du second ordre par rap- port aux masses, 9»î _ 9Mi . 4GÎS ou 4eîGr la présence de ce terme nécessite, dans le calcul de O^, des approximations assez nombreuses, à la vérité, mais très rapides à effectuer. En ce qui concerne g^, remarquons que, des deux termes qui le composent, le premier, qui est du premier ordre par rapport à la masse, a* pour logarithme 6,101669, et le second, qui est du second ordre, a pour logarithme 6,461733. 17^' ;jfeet ^TT^ s'obtiennent simplement en dérivant 6^, g^^, ^0 — go* par rapporta Go- de Pour calculeras nous nous sommes contenté, dans les équations (23), de prendre pour 6,, la valeur principale donnée par les équations (i<)), et de même pour e^t ; alors e^ , est donné par Texpression / o \ 3aJ *iŒs 40ot7j a - 83 - C'est de là que Ton tire t^- Le calcul direct de cette quantité peut se faire en dérivant toutes les équations (23); il est beaucoup plus long que le précé- dent, et nous avons vérifié que les résultats donnés par ces deux procédés différaient assez peu, pour qu'on pût se contenter du premier. Dans le calcul de A,, B|, C|, on a pris, pour Texcentricité de Torbite de Jupiter, e* = 0,0482519, adoptée dans X Anniwire du Bureau des Longitudes. Nous avons ainsi les valeurs numériques suivantes : eo = [5,894446], 00—5^0 = [5,870779], ^0 = [6,619022]. Les expressions de ôo, 6© — g^^ g^^ en secondes d'arc, sont : d'où 60 ^0 16,176, i5,3i8, 0,858; // = 60 — fl'o-t-2«'= 61 3", 574; ensuite nous obtenons : é?ii =[2,3ô3i47]i à% e\\ = [o,o35995]„. éf,i = [3,202754]/,, V <>(e.- Les dernières déterminations de A, B, B', C, J, sont : A =[2,529328], B = [2,988701], B'= [2,023348], C =[3,338373], J = i65»5i', époque : 1897 sept. 23,5, t. m. de Parîs. - 54 — De même pour les constantes ^o« [2,294881] ». lU' — ^X — m [2, 090637]» » » îX'~3X — w f3,83224o]«i) [3,ii3Goi]/i» [ 1 , 860393J 1> [r. 860393] » 5X' 4X TU [3,626i34]«>> [2,8o8i5o]/i» [1,529348] » [1,529348] ). X'— ro' [1,540278],, [2,375808] . 3X' 2X Bj'.... [^,952756] 4X'-3X-w'.... [î, 702800] [1,932833] 5X'-4X-iiy'.... [î, 501389] [i,635i33] 3X'— \—2w... [2,904378] e COS<]/ 1^,904378] -^ 5X' 3X 2m... [2,456a3i] e« [3,9-26174] c« [2,783414],* u [2,7854i4]« » 3X'— X — ro— tît' [1, 746783],, 1 cos^ ['w46783].J^.^ 5 X' — 3 X — CT — ct' [3,62i643]« [», 649796 1 >. C*est la comparaison de ces formules et des observations qui nous a con- duit à la plus petite erreur moyenne; les différences ainsi obtenues (0 — G) sont inscrites dans une des colonnes du Tableau suivant, au sujet duquel nous allons fournir quelques indications. Quand nous sommes arrivé à la recherche des accroissements SA, SB, SB', ..., il nous a paru plus simple de considérer -^7-» 'g-> de façon à prendre, dans les expressions précédentes, non les coefficients de B et de B', mais les termes en B, B'; quant aux termes en B', on les obtient avec assez de précision en multipliant par [0,556482] • les coefficients des termes correspondants, en A. Les valeurs de B et de B' qui ont servi dans ces calculs ont pour logarithmes B =[2,99^7], B'= [2,02]. Tous les coefficients de SA, SB, SB', SC, SJ, S/, S/î sont donnés eux-mêmes et non leurs logarithmes. Pour le calcul des ascensions droites, on n'a pas tenu compte des variations du nœud et de l'inclinaison; ces deux dernières ont été seules employées pour le calcul des déclinaisons. - 57 - 6A se 6J 6B' 6B Bt Bn. lO» I0« 10*' B'io» Bio» m»' ^ ^1799 — 16847 -H 12749 H- 1608 — 22060 -f-4849i —13763 H-l5 = i;ki3i — 10806 -4-12742 H-4453I — i636i -h 30817 7832 -+-i5 = 16181 — 16182 -+-14^07 -1-13665 —49901 -f-48233 — 10741 — 18 = 16687 — 16452 -4-12769 -h 13467 — 6008 H-47204 — II256 - 4 = i3i8o -13407 -+-14190 -I-458I2 -h 2465 -4-39096 - 8934 9 = 8961 — 9586 -+-12614 -h58933 18082 -h3oo69 — 5923 -5 = 9«6i — 12180 -4-13932 -l-38o49 — 4a6i8 -h3775i — 6524 -+- 9 - 12813 — 17018 -h 13592 -l-ia3i5 —35325 -4-497 II - 8792 H- 5 = 12119 — 16442 -+-13687 -h259i3 H- 7300 -t-47523 — 8926 — 13 = 800'2 —15977 -1-12017 -^ii8o5 i55i5 H-46024 — 5914 = 47 «5 — io32i -4-i3o63 H-5i877 -+- 2Il5 -h32i45 — 3575 - 9 = 3364 — 10244 H-i3o35 -+-48440 — 17083 -I-32I05 — 2640 H-l5 = 3624 —17288 H- 12965 -hi65i6 -h 2875 H-49684 - 3913 H- 9 - i4ï8 — 9419 -h 12399 -H55908 -+- 95i -h 29670 — 1543 — 12 — Les équations qui définissent Bh et Si^ en fonction des différences (0 -- C), entre l'observation et le calcul, sont : Bh. St. -f-0,IOII — o,338 — 1 . 5 — — 0,0952 — o,255 -4-1. 18 = -iro,o577 -HI,237 -4-0. 9 = -ho,o888 —0,779 -h 1.23 = — o,o5i8 -1,245 — 0.27 — — , 0960 — 0,023 — 1. 15 = — 0,04 83 -+-1,217 — 0. 4=0 -ho,o873 H-o,838 —0.28 = -Ho,o547 — I,23l -i-i.48 = ■+-0,0949 -+-o,388 — 0. i3 = — o,o855 —0,669 — 1 .28 = — o,o85i H-0,642 -hl .25 = -i-0,1029 — o,3i7 —0.54 = —0,0889 • -0,373 — I . 27 = Nous donnons encore les éléments d'Hécube pour les dates des observations dont nous avons fait usage. Dans la colonne des dates, nous nous contentons de transcrire l'année. Ces éléments sont rapportés à l'équinoxe moyen de i85o,o. Le Tableau suivant contient aussi les ascensions droites et les déclinaisons observées et calculées, ainsi que leurs différences (0 — C); ces coordonnées sont rapportées à l'équinoxe moyen du i**" janvier de l'année d'observation. s. 8 - 88 Dates. Log. a. Long. moy. Long, péri h. 1869. 1871. 1874. 1875. 1876. 1877. 1878. 1880. 1881. 0,507093 184.17.45 173.36.54 o,5o68o5 336.56.23 173. 34. 33 o,5o66a9 isi2.3o.3i I73.38.5i 0,507095 200.27. 7 173. 9.24 o,5o6389 279.10.53 172. 4'3i o,5o6383 350.29.41 o,5o6559 65.53.3o 0,506737 141.39.38 0,506795 222.40. i| 171.36.44 171.35.20 171.18.49 170.58.58 Anom. moy. Excent. O I K O I M io.4o.5i 5.43.36 i63.2i.5o 5.49. 6 - 5i. 8.20 5.49.4^ 27.17.43 5.53. 4 107. 6.22 5.54.28 178.52,57 5.52.34 -io5.4i.5o 5.51.33 - 29.39. II 5.52. 9 5i.4i.i6 5.53.44 Ascensions droites observées. h 12. m • 3. 12 calculées. b m • 12. 3.27 22.3o.36 22.3o.5l 7.47.48 7 47-3o i3.44*i^ i3. 44*12 19.27.44 19.27.35 23.42.43 3.28. 4 9.23.59 i5. 3.5i 23.42.38 3.28.13 9.24. 4 i5. 3.38 O — C. « ~i5 — 15 18 4 9 9 5 i3 1886. o,5o668i 157.19. 7 1888. 0,506126 3i4*i3.24 1889. Oy5o6373 29.19.40 1892. o,5o664i 182. 6.28 1894. o,5o6342 33o^5.i2 170.36.46 169. 11.57 169.16. 8 168. 36. 35 168. 3.32 • 13.17.39 145. 1.27 139.56.28 13.29.53 162.41 .40 5.59.32 11.10. 4 11.10. 4 5.58.15 21.52.22 2I.52.l3 5.56.53 I. 19.57 1.20. 12 5.56.14 12.20.43 12.20.52 5.58. 5 22.55.1 5 22.55. 3 9 — 15 - 9 12 Déclinaisons Dates. Long. nœud. 1869. 1871. 1874. 1875. 1876. 352. 352. 8.45 5.41 352. 2.57 352. 1.34 352. o.i3 Inclin. 4 . 23 . 5o 4.23.42 4.23.35 4.23.31 4.23.28 observées. — 2.10.27 — 10.44*43 26.50.40 — 14.50.5 I — 27.33.36 calculées. 2.U .32 — 10.43.25 26.50.49 — 14.49.28 — 27.34. 3 0-C. r ip + 1. 5 — 1.18 9 — I .23 -HO. 27 1877. 1878. 1880. 1881. 351.59. 3 35 I .57.52 35i.56.43 35 I .55.32 4.23.25 4.23.22 4.23.19 4.23.16 - 2. 0.33 24.38. I 19.25.55 •23.17.46 - 2. 1.48 24 . 37 . 57 19.25.27 23.i5.58 -t-i .i5 -ho. 4 -ho.28 — 1.48 1886. 1888. 1889. 1892. 1891. 35i. 51.33 351.49.35 35i. 48.41 351.46.53 351.45. 8 4.23. 9 7.26. 5 7.25.52 4.23. 7 — i6.i8.3o — 16.19.58 4.23. 6 11.48.36 ii.5o. I 4.23. 5 — 3.56.43 — 3.57.37 4.23. 7 — 8.52.40 — 8.54. 7 H-o. i3 H-I.28 ■—1.25 -ho. 54 1.27 - S9 - CHAPITRE III. 1. Recherches supplémentaires. — Pour voir si, dans les calculs compliqués qui ontdonné e,, e^, e^, Oo, .. ., 0,, ^o> •• •• gs^ nous n'avions omis aucun terme sensible ou si l'inlroduction d'un terme nouveau ne pouvait être utile, nous avons cherché empiriquement l'influence de certains changements dans nos formules. C'est, en eflet, cette méthode qui nous a conduit plus haut à compléter les expressions de e et de 0, en tenant compte des termes é?3cos36o(/-+-c), O3 8in3eo(/-+- c), et, par suite, à introduire, dans les formules qui définissent yj et ^, le terme ^3'|^"[J-(3eo-5^o)/]. Nous rappelons que l'addition de ce nouveau terme, dans les équations du mou- vement, avait diminué de moitié la somme des valeurs absolues des résidus. Nous allons rapidement énumérer les recherches faites dans ce sens. Elles étaient d'autant plus nécessaires qu'après avoir négligé c' ete'^, tout en con- servant des termes en w'^, il était assez pénible de distinguer, parmi les divers termes, ceux qu'il fallait conserver, soit parce qu'ils étaient importants, soit parce qu'ils ne se détruisaient pas avec d'autres termes supprimés a priori. (Â). Si l'on tient compte, dans la fonction perturbatrice, du terme à longue période en e^, il en résulte, dans tq et Ç, une expression de la forme : Si l'on multiplie, par i5 x sin i" x cosS, les résidus (0 — C) relatifs aux ascensions droites et qu'on calcule empiriquement G^, cette quantité est égale à une fraction dont le numérateur est — o,oo56o -+- OjOo43i. -- 60 — Avec le petit terme ainsi obtenu, nous avons trouvé des résidus comparables à ceux que nous avions déjà; nous l'avons, par suite, négligé. (B). Les calculs montrent que le même terme de la fonction perturbatrice, dont nous venons de parler, donne lieu, pour y] et-^, à une expression de la forme cos '^ on trouve Cj = Cj, nous avons donc supposé que G, était nul. (G). Nous avons fait abstraction plus haut de la partie de e^ qui est indépen- dante de Cq et qui est du second ordre en m'^ à savoir : cela revient à négliger, dans y] et ^, le terme A dja^cL^) sin . . pour voir si nous devions en tenir compte, nous avons calculé la valeur de ^e^ qui conduisait à la meilleure représentation des observations, et nous avons obtenu, pour le numérateur de S^,, -h 0,00499 — 0,00492; il n'y a donc rien à changer au terme en ^,. (D). Nous avons eu recours également au terme que renfermeraient r\ et Ç, si l'on développait davantage les formules écrites plus haut; le numérateur de e^. o,oo533 — OjOo4:')8, indique qu'on peut négliger e^. - 61 - (E). Parmi les divers coellficients qu'on rencontre dans les expressions de L, X, Y], ^, quelques-uns ont souvent varié, d'une quantité notable, avec les di- verses approximations; tels sont ceux de A et de B^ dans la somme pour savoir si la dernière valeur adoptée était suffisamment précise, nous avons introduit un coefficient SS et trouvé pour le numérateur de SS ■ — o, 00579 "+~ 0,00412; en tenant compte de SS, on ne diminuait ni la moyenne des résidus, ni les écarts extrêmes. (F). De même, e^^ a varié, pendant nos recherches, parfois du simple au double; il était naturel de considérer un coefficient £^21 ; on a obtenu 0^,1 = 8S; nous avons donc conservé la dernière valeur calculée pour e^t. (G). Nous avons négligé des perturbations périodiques contenant des argu- ments in* ^{i — i)/i et in' — {i — 2)/j, qui, pour des valeurs simples de 1, sont voisins de ±: n' ou de dz in!\ il nous a donc paru utile d'introduire, dans l'expression de la longitude moyenne, un terme de la forme A sin(X'-+- bt) -+- B C08(X'-i- ht) OU A 8m(X -hô/)-HBcos(X -4-6/). Pour calculer fr, nous avons développé les sin et cos précédents par rapport à /, ce qui est permis si h est assez petit, et nous avons ainsi remplacé les ex- pressions précédentes par A sinX'-h B cosX'-h Kbt cosX'— B^/ sînX' OU AsinX -+- BcosX + A^/cosX — B^f sinX; - 62 ~ les valeurs obtenues pour A, B, b nous ont conduit à des résidus peu différents de ceux que nous avions déjà. (H). Si l'on construit la courbe des résidus en ascension droite et qu'on la compare à une sinusoïde, on peut admettre que, de 1874 à 1889, ^®^^^ sinus- oïde est parcourue 2 fois ^ ou 3 fois {. En introduisant, dans la longitude moyenne, un terme empirique dont la période était de 3, 4» 5» 6, 7 ou 8 ans, nous sommes toujours arrivé à des résultats négatifs. (I). Il en a été de même en cherchant à faire varier g^. Cette vérification était utile en raison des simplifications faites dans l'expression algébrique de ^0» ^t ^^ '^ grande différence des valeurs qu'on avait obtenues pour g^©» suc- cessivement en négligeant, puis en conservant Je terme en m'^. (J). En raison de l'importance des coefficients e, 2, Ô22, 0,,, e^^, qui varient beaucoup suivant qu'on s'arrête aux termes du premier ordre en m' ou à ceux du second, on peut se demander si l'on n'aurait pas dû conserver dans les équa- tions (20) du Chapitre I certains d'entre eux qui sont du troisième ordre en m'; on trouve qu*il faut dans ce cas ajouter, dans les équations (23) du même Chapitre, -^- -^ ^îi 3" premier membre de la a* équation, • » — aijôj, » 5* » 8 e;, . 4 dans le calcul de ^u,^a2»^32) ^21» ^4» on a aussi à tenir compte des variations 8 «3^11 î ^°^ A9 ^ «3^11 /A _ V 8^u= — «sôîi, et, = ^41 Co = ^(^11 — ^11)^0, 8^31 =— ^ 6Îj. 11 en est résulté pour e,/^, 0/^, ^,a, les valeurs suivantes; e„ = [2,36*960], gxi = [0,092488], ^u = [o,o53548]«, ^tî = [î,856867]«, ^„ = [3,454363]«, 61, -5',,= [o, ^39413], e„ = [o,i343a4]n, ^tt—gtt^ [ï,8o8367]„, e„ = [0,600738], e„ = [ï, 010429]/», en = [S,3a4726]rt. ~ 63 - Pour déterminer les éléments de l'orbite» on ne se sert pas de 0,,, ^«,, O22, ^j2, mais des différences on — ^^n» 622 ~ ^22- Ces dernières quantités et toutes celles qui entrent dans les expressions de L, X, 7), ^, différent peu de celles qui nous ont servi plus haut. En employant les coedQcients du Tableau précédent et en conservant les termes en B'^, on n'est pas arrivé à des résultats différents de ceux qui sont donnés ci-dessus. Nous croyons donc pouvoir conclure des recherches précédentes que la gran- deur de nos résidus ne doit pas être attribuée aux seuls termes périodiques né- gligés, ni aux termes en e^^ mais qu'elle provient uniquement du degré d'ap- proximation auquel nous nous sommes arrêté dans le développement des formules du Chapitre I. 2. Détermination de la masse de Jupiter. — Sur les conseils de M. Perrotin, nous avons cherché quelle était la valeur de la masse qui nous conduisait à la meilleure représentation des observations. Si l'on considère, dans les formules qui définissent L, X, y], ^, les termes les plus importants, c'est-à-dire ceux qui contiennent B en facteur, on voit que, dans les expressions de L et de X, ils sont proportionnels à /n\ tandis que, dans celles de yj et de S» ^' n'est pas en facteur. Étant donnée l'importance des per- turbations calculées plus haut, on pouvait espérer avoir ainsi une bonne déter- mination de m'. Au lieu de supposer que la valeur adoptée jusqu'alors pour la masse était exacte, nous avons traité ml comme Â, B, B', C, J et calculé Zm!. En introdui- sant, dans les équations différentielles, Im* ou plutôt — -^ nous avons obtenu les nombres suivants : — 0,22843 T — 0,11747 » — o, 11673 • — 0,01622 » — 0,05672 » — 0,01266 » -h o,oi554 » La somme des valeurs absolues de ces coefficients est ,31716 0, II823 » Oj ,302I0 0, 20853 » 0, ,11678 w 0, ,10590 u 0, ,18234 » i,9i38i. Dans les équations qui définissent SA, SB, SB\ SC, SJ, Sm', en fonction des rési- dus (0 — C) relatifs aux ascensions droites, nous avons exprimé les cinq pre- - 64 - miëres inconnues en fonction de 8m' et des quantités connues. Dans ces rela- tions, les termes indépendants de 8m' étaient à peu près nuls, comme on devait s'y attendre, puisque, en négligeant 8m\ on n*ayait plus à faire varier les valeurs de A, B, B', C, J, adoptées dans la dernière approximation. Dans les quatorze équations qui devaient nous donner 8m\ les termes connus n^étaient donc autres que les résidus (0 — C), et la somme des nouveaux coefficients de — j- était o, 18089. Nous avons trouvé o//i' 0,00497 — o» 00494 ni 0,13089 Les observations dont nous nous sommes servi nous conduisent donc à con- server pour m' le nombre 1047, 23'2 Si nous voulons nous rendre compte de Terreur que nous pouvions commettre dans fa détermination précédente de m\ supposons que les quantités (0 — C) qui forment le numérateur de 8m\ au lieu de s'annuler, ne se soient détruites qu'en partie. Soit/? le numérateur ainsi obtenu, exprimé en secondes de temps; désignons par e la variation correspondante pour — ,, nous avons I I _ /> X i5 X sin i' io47,23*>i 1047, '23a -+- e 0,13089x1047,232 d'où l'on tire, avec une exactitude suffisante, _ /> X iS X 1047 o , 1 3 X 2o6ao5 OU encore •1 Si nous admettons, par exemple, pour fixer les idées, que p est du même ordre que l'erreur moyenne de la moyenne des résidus, savoir : v/ Se^ m{m — i) oii Se^ est la somme des carrés des résidus et m le nombre des observations, nous voyons que p est à peu près 3 et, par suite, e voisin de \\ nous pou- - 65 - vons donc dire que, à l'aide de nos formules approchées et du petit nombre d'observations dont nous disposons, nous obtenons —j à quelques unités près. 3. Pertcrbations périodiques du noeud et de l'inclinaison. — Jusqu'ici nous nous sommes spécialement occupé de la détermination des ascensions droites. Disons un mot des perturbations, à courte période, de h et de i. Nous les avons calculées à l'aide des formules du t. I de la Mécanique céleste de M. Tisserand (p. 169); pour effectuer les intégrations, nous avons supposé, dans la fonc- tion perturbatrice, h et {'constants; aous avons contrôlé les résultats ainsi obte- nus en employant les équations canoniques qui ont donné plus haut h et 1; nous avons trouvé, pour A, par exemple, des perturbations de quelques mi- nutes d'arc ; elles n'ont produit aucun changement sensible dans la représenta- tion des observations de déclinaison. Nous avons alors tenu compte du terme le plus important de la fonction perturbatrice contenant à la fois e et y]-, à savoir ^e/;«(4 K* -f- EJ ) cos( i )/— l — m), bien que dans les recherches précédentes nous ayons constamment négligé e^\ le terme ci-dessus a donné lieu à une perturbation de 47' dont la période est de 23o ans environ; l'introduction de ce terme, dans les seules équations qui défi- nissent h et i, n'a fait qu'augmenter les résidus en déclinaison. Nous nous sommes donc contenté des expressions de h et de i du Chapitre I. 4. Comparaison des résultats précédents avec ceux de M. Harzer. — Nous ne pouvons complètement comparer les formules données plus haut avec celles de M. Harzer, si différentes des nôtres. Nous nous bornerons aux remarques suivantes : A la page 149 du Mémoire de M. Harzer, nous lisons loga = 0,50679; de notre côté, nous avons trouvé loga = 5o8a2o. A la page i5i du même Mémoire, la formule qui donne l'expression du temps en fonction de la longitude peut s'écrire, si l'on se borne au terme le plus im- portant, [T,23i63]f =— [a, 07019] Y^t S'" U^^(i)v-\r'i-^i}-^ 2& j ; le coefficient de ce sin est 16^, 148 (t;o/r p. i53); la partie principale de l'argu- s. 9 - 66 - ment est (B + ()r; si l'on se reporte à la p. i44« on voit que : log(S -4- (;) = 2,42172. Si Ton remplace .dans l'expression de /, transcrite ci-dessus, cpar [7,23i63]/, puis les logarithmes par les nombres, et qu'au lieu de prendre le degré pour unité, on choisisse la seconde d'arc, on a 6i3',66/ = [4,7644a] 8ln(i6',ao5r 4- const.). Nous retrouvons ainsi, à très peu près, le coefficient 6t3'%6536 du temps, dans notre expression de X; la perturbation principale de X, [4,74525i]8in(6»io'53'-*-i6', i760f diffère peu du terme à longue période de M. Harzer dont nous n'avons pris que la partie la plus importante afin de pouvoir établir ces comparaisons, sans com- pliquer les calculs. Enfin M. Harzer donne, pour le mouvement <; des apsides, log(; = 3,11922; dans ses formules, ç est coefficient de la longitude; nous devons donc comparer entre elles les deux quantités <;n etg^; un calcul simple donne (;/i = o',8o8, tandis que nous avons trouvé plus haut ^0 = o*> 858. Remarquons encore que le rapport des deux termes dont se compose ç est||; pourg'o» nous avons obtenu ||; dans chacun des cas, c'est le terme du deuxième ordre par rapport à la masse qui est le plus important, et non le terme du pre- mier ordre, comme on pourrait le croire a priori. Termes séculaires . — Nous avons dit, au début de ce Travail, que M. Harzer avait évité les termes séculaires; de notre côté, nous n'avons pas cherché à en débarrasser nos formules; les expressions (38) de y) et de Ç contiennent un tel terme : r.^iOo2i£o)_^ 3Bn ,— cos„ ,. , ,, [A— 5JT;;— + ^J rn/bo' g. JJ -(eo-^o)O. • - 67 - Tout d'abord, nous n^avons pas tenu compte de B^ et, dans ces conditions, nous avons trouvé, dans la dernière approximation, que le coefficient placé ci-dessus entre crochets avait pour valeur numérique [5,078987], Avec les formules complètes, nous avons obtenu A^i?^^=[5,6..9.4U B* 3 jgï =[5, 626893, c>(eo-go) m _ dG 2G: On voit donc qu'en conservants*, on diminue considérablement l'importance de ce terme séculaire, à tel point qu'on peut admettre qu'une approximation nouvelle le ferait disparaître. Nous allons voir que, même pour des époques très éloignées, il ne joue pas un grand rôle et que nos formules donnent des résultats assez concordants avec ceux de M. Harzer. 5, Éléments osculateurs de 1897 a 2147. — Les arguments (ô© — g^o)^ et 60/ ont pour périodes respectives 282 et 220 ans environ; calculons donc, de 25 en 2D ans, pour la période comprise entre 1897 et 2147, septembre 23,5, temps moyen de Paris, les éléments a, X, e, ^ + A, A, i et la valeur osculatrice du moyen mouvement 3-? rapportés à l'équinoxe moyen de i85o,o. Nous ne te- nons pas compte des perturbations à courte période. Daies. Log. a. n. X. 1897... o,5o643o 617,6079 166. i.4a 1922. . . 1947 . . . 1972 . . . 1997... 2022 . . . 2047... 2072... 2097... 2122 . . . 2147... 0,506964 o,5o8i 16 0,509814 0,509970 0,509756 0,508780 o , 507526 o,5o66i6 o,5o65o4 0,507240 6i6,47"7 614,0979 611, 289 I 609,5271 6io,ii55 6i2,58i6 615,3572 617,1011 6i7,3o35 6 [5, 9284 291.40.49 52. 3 I. I I 166.35.48 274*21. 10 20.35.18 130.57.26 248.30. 4 11.47.51 137.25.49 261 .43.37 Diflf. 125.39. 7 120.5o.22 114. 4' 37 107.45.22 106.14. 8 110.22. 8 117.32.38 123.17.47 123.37.58 124.17.48 5.58.36 5.44. 17 4.58.13 3.57.24 3.22. 7 g-^h. h. 167.27. 6 351.42. 58 4-23: 8 161.44*40 351.17.10 4*24*19 157. 8.52 350.28.46 4*25. 18 160. 10. 36 349*34*20 4*^4*34 174*19. 6 348.59.41 4«''a3.i6 3.32.35 191.15.17 348.40.16 4*^3.26 4.22.28 200.42.19 348, 8.18 4*24*49 5.20.57 199*37. 2 347»i5. 7 4*^5. 14 5.5i.i5 193.50, 2 346.24.38 4*24* I 5.51.56 188. 1. I 345.56.35 4.28. 5 5.28.20 182.28.55 345.36.21 4*23.54 Ce Tableau montre que, pendant plus de 200 ans, nos formules indiquent - 68 - une libration dans les éléments d'Hécube autres que la longitude du nœud ascendant; de ces mêmes formules, on conclut que loga est compris entre et que n peut varier de 0,506070 et o,5io36(), 6o8',69i5 à 6i8',6i57. De i8:)7 à 2147, (Oo — g^o)^ ^t 0^/ augmentent de 36o® environ, tandis que g^t n'augmente que de 20**. Pour voir ce que donneront nos formules pour des périodes plus éloignées, considérons, à partir de 1897 sept. 23,5, un certain nombre de périodes égales à 2 > de façon que g^^t croisse de o** à 36o°; nous obtenons le Tableau suivant, dans lequel il est inutile de parler des éléments a, X, 72, /, dont les variations seraient analogues à celles du Tableau précé- dent. 6. Eléments osculateurs d*IIécube : e^g-+-h,h^ pour les époques; 1897. seplembre 23, 5, l, m. de Paris ■+- /n x j. • ^0 — ga (s est environ aSa ans et 18 x r — — à peu près 4' 70 ans ) m. 9. 5! 58. 36* 1 5.48.20 2 5.36.1 5 3 5.21.32 4 5.5.11 5 4-^i*24 6 '4.45.51 7 4*^'*^^ 8 5. 5.5i 9 5.2J.25 g-^h. o t 167.27. 6 i86.3i.i2 205.55.57 225.55. 8 247. 3. I •269.49-44 '293. 58.1 3 3i8. 12.21 341.15.28 2.46. 24 A. 351*! 42'. 58* 345.57.32 340. II. 5o 334.25.48 328.39.20 322.52. j5 317. 4.40 3ii. 16.29 305.27.44 299.38.21 m. 10 11 12 i3 14 i5 16 «7 18 9. _ o f , 5 .43.48 6. 3. 3 6.21 .40 6.37-43 6.47.47 6.48.15 6.38.30 6.20. 8 5.56.36 f(-i- h, 23". 4'. 18 42.27.52 60.58.43 78.32. I 95.13.59 118.28. 5 127.48.27 144.48 i5 .62.49* 1^ A. 293.48. i3 287.57.49 282. 7. a 276. i5.53 270.2I.38 2G4.33.18 258.42. 3 252.5o.58 246.59.57 Si nous comparons les résultats de ces deux Tableaux avec ceux que donne M. Harzer dans son Mémoire (p. i55), nous trouvons, d'après M. Harzer, pour loga des nombres compris entre o,5o574 et 0,51026; les limites données par nous sont voisines de ces nombres qui ne représentent pas le minimum et le maximum que peut atteindre loga. - 69 ~ Les valeurs deç données par M. Harzer varient de 3**i8'49" ^ 8^3 1' 20"; ici la comparaison est plus difficile, en raison de la grande variation de (p pendant chacune des périodes de 25 et de 232 ans; nous avons vérifié qu'en augmentant de 25 ans les dates du dernier Tableau, et comparant les nouvelles détermi- nations de f aux précédentes, on avait des différences variant périodiquement de — i*^ à -h 1** environ. Les limites extrêmes de o données par nos formules sont donc comparables à celles que nous avons indiquées plus haut (3^19' et 8o3i'), La dernière longitude du périhélie de M. Harzer, 1 07*1 5', correspond à peu près à l'époque 1897 4- 38oo ans; le dernier Tableau donne, pour ce moment, i3i° environ; les deux variations ainsi obtenues pour le "péri- hélie, diffèrent de ^ de leur valeur; nous avons vu plus haut que M. Harzer avail adopté o", 808 et nous o",858 pour le mouvement séculaire des apsides. Le rapport de ces deux nombres est précisément f|, nombre voisin de i — ,\. Les variations du moyen mouvement concordent beaucoup mieux; à ce sujet nous ferons remarquer que les différences des longitudes comptées de 25 en 25 ans varient elles-mêmes de 106** à i25°. Nous arrivons enfin à la variation de la longitude du nœud ascendant; à 224^54' donné par M. Harzer, correspond, d'après le Tableau précédent, le nombre 258® environ; pour une diminution de 91**, nous avons deux résultats différents de 35**; de même pour i (y dans le Mémoire de M. Harzer), les con- clusions ne concordent pas. Si l'on tient compte, dans le développement de la fonction perturbatrice, des termes qui contiennent yy', on doit considérer la somme Yy'B» cos{// •—//) — n'B» cos(2X 4- // — 4X'-+- //'); il en résulte pour y et A les accroissements Sy, SA ainsi définis : 8y =— [3,396483] co8(// — //') — [i ,012961] C0S(2X -4- /l — 4 X'-+- //'), ^U =— [3,396483] 8in(// — //') - [i ,012961] sin(2X -h h — 4X'-h //). Pour intégrer ces équations, nous nous sommes servi de la valeur obtenue plus haut pour A, et nous avons continué à supposer h' constant. Si l'on détermine les constantes de h et de «, de façon qu'en 1897 h et i aient les mêmes expres- sions que plus haut, on arrive aux résultats ci-dessous : - 70 - m. A. • 1. m. /i. • (> 35i.4'2.58 4.23. 8 10 281 . i4*47 3.28. 3 1 345.2a. 32 4.15.55 II 273.36.41 3.26. 17 2 338.48.56 4. 8.19 12 265.56. 7 3.25.24 3 332.16.2a 4. 1.17 i3 258. 14.34 3.25.a4 4 325.13. 3-2 3.54.37 14 250.33. 27 3.26.11 5 3i8. 11.46 3.48.31 i5 242.53.34 3 . 27 . 52 6 3ii. 1.57 3.43. I 16 235. 16.55 3.30.24 7 3o3.44. 4 3.38. 9 t7 227.43. 10 3.33.46 8 296.19.58 3.34. 18 220.40. 3 . 37 . 5o 9 288.49.48 3.30.38 Ces derniers nombres concordent mieux avec ceux de M. Harzer. N'oublions pas, d'ailleurs, qu'il a tenu compte des perturbations séculaires des nœuds des grosses planètes, d'après les formules de Le Verrier, tandis que nous les avons négligées. En résumé, ces Tableaux nous montrent que, d'après nos formules, les élé- ments a, n^ Cy 1, sont sujets a d'importantes librations ; g -h h et h ont des libra- tions et des variations séculaires. 7. Variations de la grandeur d'Hécube. — Aux grandes variations de e cor- respondent, dans l'éclat d'Hécube, des changements que nous allons rapidement étudier. L'expression de la grandeur d'un astéroïde est, en désignant par g une con- stante que donnent les observations, r est le rayon vecteur de l'astre, A sa distance à la Terre. Au lieu de cette expression, contentons-nous de la suivante, qui est un peu plus simple, ^-h51ogr(r — I). m r (r — I ) varie peu si l'on ne considère que les changements de a ; supposons a constant et prenons loga = o,5o8. Considérons les»valeurs extrêmes de (p : 3®3o' et 8**3o' et calculons, dans chacun de ces cas, les grandeurs minima et maxima d'Hécube. Dans le cas actuel, o — /»4 • Pour

velles de la Mécanique céleste permettent d'obtenir, à l'aide d'expressions par- ticulièrement simples, une solution très approchée du problème du mouvement d'Hécube. Nous avons, en effet, représenté, à quelques minutes d'arc près, les observa- tions d'Hécube faites pendant vingt-cinq années, bien que la longitude moyenne ait une grande perturbation qui dépasse i5** et que nous nous soyons borné aux premières puissances des excentricités. Les dernières recherches que nous venons de résumer nous autorisent à croire que la solution périodique, adoptée plus haut, restera longtemps en- core peu différente de l'orbite réelle d'Hécube. Nous n'oublions pas toutefois q^ue, en raison de l'importance des perturbations à longue période dont sont affectés les éléments d'Hécube, les constantes d'intégration ne peuvent être bien déterminées à l'aide des seules observations qu'on a pu faire depuis la découverte de cet astéroïde. Il en faudra de nouvelles s'étendant sur une plus longue période de temps. :- •• • •• » ^« - « • • . . » • » •*• .* - 73 - ADDITION. Tableau des éléments oscillateurs de (jS) Hécube, calculés par M. Schilhof. Epoque, t. m. de Berlin. Kquin. /. g -^ /t. A. • 1. ■ ?• n. Log a. Publications. 1889 Mai i5,5 1869,0 •» 1 n 16.21.22,7 1 175. 4.29,6 1 w 352.19.55,9 4.24.16,3 5.45 41,9 615^96637 0,5069664 Berl. Jahr. 1873- 1869 Avril 5,5 1869,0 10.40. 9,1 J 73.43. 1,2 352. 20. 5o, 2 4.24.33,2 5.46. 2,2 616,3895 0,5067783 » 1874 1871 Sept.i3,o 1871,0 i63.57.28,a i 73. 1.21,7 352.17.56,7 4.24.25,8 5.44.53,5 617,87880 0,5060689 » 1875 1871 Sept. i3,o 1870,0 i62.58.i8,5 1 73.49.21,7 352.17.11,9 4.24.10,3 5.46. 8,9 6i6,585i2 0,5066757 » 1876 1875 Fév. 24,0 1880,0 19.25.35,6 1 73.30.42,7 352.a5,3i,5 4.24. 7,9 5.53.18,4 616,36986 0,5067768 » 1878 1875 Fév- 24,0 i85o,o 19.24. 2 1 173. 7.16 352. 0.47 4.23.57 5.53.46 616,225 0, 506845 (»> 1877 Sept. 16,5 i85o,o 180.57.46 1 [71.53.35 35i.53.3i 4.23.44 5.54.18 617*707 o,5o6i49 {') 1878 Nov. 17,0 i8>o,o 2-34.19.50 1 »7i-42.39 35i.53.io 4.23.41 5.53.43 617,413 0,506287 (») 1885 Dec. 28.0 1886,0 34o.44.57,« ] 171. II. 4)^ 352.23.52,0 4.23.59,8 6. 0.10,5 617,12588 0,5064218 Berl. Jahr, 1888 1887 Juin. 11,0 1890,0 77.36.43,6 170.14. 9>9 352.21.23,4 4.23.39,6 6. I. ^,1 617,61288 0,5061934 s 1889 1888 Août 14,0 1 890 , §46.33.51,8 169.57.59,6 352.20.33,0 4.23.40,6 6. 0.40,8 617,99535 0, )o6oi4i M 1890 1889 Oct. 28,0 1890,0 222.14.22,8 169.50. 1,8 3 )i. 20.28, 7 4.23.37,6 5.59.33,2 617,70408 o,5o6i5o8 » 1891 1891 Janv. n,o 1 890 , 297.58.42,1 1 69.16. 49»3 352.19.53.7 4-23.36,1 5.58.52,8 617,21345 o,5o638o^ U 1 89-» 1892 Oct. 12.0 I 890 , 17.56. 8,5 [68.58.29,2 352.19.38,6 4.23.34,3 5.59.1 1,2 617,05173 0,5064567 M i«9l 1893 Juin 9,0 1890,0 89.12.45,6 1 [69. 6.20,7 352.19. ^ï? 4.23.34,9 5.59.22,5 617,27161 o,5o6353 ) )t 1895 1894 Oct. 2,0 1890,0 171.46.18,9 1 68.52.52,3 3j2.i8. 3,2 4.23.38,0 6. 0.59,5 617,81913 0,5060968 V 1896 (•) Harzrr, Untersuchungen p. 117. Vu et approuvé : Paris, le 3o novembre 1896, Le Doyen de la Faculté de Paris, G. DABBOUX. Fu et permis d'imprimer : Paris, le 3o novembre 1896, Le Vice-Recteur de l/Académie de Paris. GRÉARD. S. 10 DEUXIÈME THÈSE. PROPOSITIONS DONNÉES PAR U FACULTÉ. 1° De l'emploi du niveau et du bain de mercure dans les observations astro- nomiques. 2° Applications astronomiques du principe de Doppler-Fizeau. Vu et permis d'imprimer : Paris, le 3o novembre 1896, Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris, GRÉARD. yu et approuvé : Paris, le 3o novembre 1896, Le Dot en de la Faculté des Sciences, G. DARBOUX. 24144 PARIS. ~ IHPBIHRBIS GAUTHI Bl-V ILL AB8 BT FIL8, OOAI DBS CB AHDB- AUGDSTl US, 55.